Dörtyüzlü sayı - Tetrahedral number

Kenar uzunluğu 5 olan bir piramit 35 küre içerir. Her katman, ilk beş üçgen sayıdan birini temsil eder.

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Tetrahedral sayı"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Şubat 2017) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Bir dört yüzlü sayıveya üçgen piramidal sayı, bir figür numarası temsil eden piramit üçgen tabanı ve üç kenarı ile dörtyüzlü. ntetrahedral sayı, Te_n, ilkinin toplamıdır n üçgen sayılar, yani,

${ displaystyle Te_ {n} = toplamı _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = toplamı _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = toplam _ {k = 1} ^ {n} left ( toplam _ {i = 1} ^ {k} i sağ)}$

Dört yüzlü sayılar:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... (sıra A000292 içinde OEIS )

Formül

Sola yaslanmış bir Dörtyüzlü sayısının türetilmesi Pascal üçgeni

Formülü ndörtyüzlü sayı 3 ile temsil edilir yükselen faktör nın-nin n bölü faktöryel arasında 3:

${ displaystyle Te_ {n} = toplamı _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = toplamı _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = toplam _ {k = 1} ^ {n} left ( toplamı _ {i = 1} ^ {k} i right) = { frac {n (n + 1) (n + 2) } {6}} = { frac {n ^ { overline {3}}} {3!}}}$

Dört yüzlü sayılar da şu şekilde temsil edilebilir: iki terimli katsayılar:

${ displaystyle Te_ {n} = { binom {n + 2} {3}}.}$

Dörtyüzlü sayılar bu nedenle dördüncü konumda soldan veya sağdan bulunabilir. Pascal üçgeni.

Formülün kanıtları

Bu kanıt, nÜçgen sayı ile verilir

${ displaystyle T_ {n} = { frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Tarafından ilerler indüksiyon.

Temel durum

${ displaystyle Te_ {1} = 1 = { frac {1 cdot 2 cdot 3} {6}}.}$

Endüktif adım

${ displaystyle { begin {align} Te_ {n + 1} quad & = Te_ {n} + T_ {n + 1} & = { frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} + { frac {(n + 1) (n + 2)} {2}} & = (n + 1) (n + 2) sol ({ frac {n} {6} } + { frac {1} {2}} right) & = { frac {(n + 1) (n + 2) (n + 3)} {6}}. end {hizalı}} }$

Formül şu şekilde de kanıtlanabilir: Gosper algoritması.

Geometrik yorumlama

Dört yüzlü sayılar küreler istiflenerek modellenebilir. Örneğin, beşinci dört yüzlü sayı (Te₅ = 35) 35 ile modellenebilir bilardo topları ve 15 topu yerinde tutan standart üçgen bilardo topu çerçevesi. Sonra bunların üzerine 10 tane daha top istiflenir, sonra bir tane daha 6 tane, sonra başka bir üç ve üstteki bir top tetrahedronu tamamlar.

Ne zaman siparişn dörtyüzlü inşa Te_n küreler bir birim olarak kullanıldığında, bu tür birimlerle bir boşluk döşemesinin en yoğun şekilde elde edebileceği gösterilebilir. küre paketleme olduğu sürece n ≤ 4.^{[1][şüpheli – tartışmak]}

Özellikleri

• Te_n + Te_n−1 = 1² + 2² + 3² ... + n², kare piramidal sayılar.
• A. J. Meyl 1878'de sadece üç dörtyüzlü sayının aynı zamanda mükemmel kareler, yani:

  Te₁ = 1² = 1

  Te₂ = 2² = 4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• Sör Frederick Pollock her sayının en fazla 5 tetrahedral sayının toplamı olduğu varsayılmıştır: bkz. Pollock tetrahedral sayılar varsayımı.
• Aynı zamanda bir dörtyüzlü sayı olan tek kare piramidal sayı 1'dir (Beukers, 1988) ve aynı zamanda bir dört yüzlü sayıdır mükemmel küp 1'dir.
• sonsuz toplam dörtyüzlü sayıların karşılığının 3/2kullanılarak türetilebilir teleskop serisi:

  ${ displaystyle toplam _ {n = 1} ^ { infty} { frac {6} {n (n + 1) (n + 2)}} = { tfrac {3} {2}}.}$

• eşitlik Dört yüzlü sayılar, yinelenen tek-çift-çift modelini takip eder.
• Dört yüzlü sayıların bir gözlemi:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te₁

• Hem üçgen hem de dörtyüzlü olan sayılar, binom katsayısı denklem:

  ${ displaystyle T_ {n} = { binom {n + 1} {2}} = { binom {m + 2} {3}} = Te_ {m}.}$

Hem dört yüzlü hem de üçgen sayılar olan tek sayılar (dizi A027568 içinde OEIS ):

Te₁ = T₁ = 1

Te₃ = T₄ = 10

Te₈ = T₁₅ = 120

Te₂₀ = T₅₅ = 1540

Te₃₄ = T₁₁₉ = 7140

Popüler kültür

Her gün alınan her tür ve sayıdaki hediye sayısı ve bunların ilişkisi figürat numaraları

Te₁₂ = 364 ilahinin 12 ayetinin tamamında "gerçek aşkımın bana gönderdiği" armağanların toplam sayısıdır.On İki Noel Günü ".^[2] Her ayetten sonraki kümülatif toplam hediye sayısı da Te_n ayet için n.

Olası sayısı KeyForge üç ev kombinasyonları da bir dört yüzlü sayıdır, Te_n−2 nerede n ev sayısıdır.

Ayrıca bakınız

• Ortalanmış üçgen sayı

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Sayı". MathWorld.
• Dörtyüzlü Sayı Formülünün Geometrik Kanıtı Jim Delany tarafından, Wolfram Gösteriler Projesi.