Sürekli Bernoulli dağılımı - Continuous Bernoulli distribution

Sürekli Bernoulli dağılımı

Olasılık yoğunluk işlevi
Gösterim	${ displaystyle { mathcal {CB}} ( lambda)}$
Parametreler	${ displaystyle lambda (0,1)}$
Destek	${ displaystyle x in [0,1]}$
PDF	${ displaystyle C ( lambda) lambda ^ {x} (1- lambda) ^ {1-x} !}$ nerede ${ displaystyle C ( lambda) = { { başlar { frac {2 tanh ^ {- 1} (1-2 lambda)} {1-2 lambda}} ve { text {if} } lambda neq { frac {1} {2}} 2 & { text {aksi halde}} end {vakalar}}}$
CDF	${ displaystyle { begin {case} { frac { lambda ^ {x} (1- lambda) ^ {1-x} + lambda -1} {2 lambda -1}} & { text { if}} lambda neq { frac {1} {2}} x & { text {aksi halde}} end {vakalar}} !}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle operatorname {E} [X] = { begin {case} { frac { lambda} {2 lambda -1}} + { frac {1} {2 tanh ^ {- 1} ( 1-2 lambda)}} & { text {if}} lambda neq { frac {1} {2}} { frac {1} {2}} & { text {aksi}} end {vakalar}} !}$
Varyans	${ displaystyle operatorname {var} [X] = { begin {case} { frac {(1- lambda) lambda} {(1-2 lambda) ^ {2}}} + { frac { 1} {(2 tanh ^ {- 1} (1-2 lambda)) ^ {2}}} & { text {if}} lambda neq { frac {1} {2}} { frac {1} {12}} ve { text {aksi halde}} end {vakalar}} !}$

İçinde olasılık teorisi, İstatistik, ve makine öğrenme, sürekli Bernoulli dağılımı^[1][2][3] sürekli bir ailedir olasılık dağılımları tek bir parametreli şekil parametresi ${ displaystyle lambda (0,1)}$, birim aralığında tanımlanmıştır ${ displaystyle x in [0,1]}$, tarafından:

${ displaystyle p (x | lambda) propto lambda ^ {x} (1- lambda) ^ {1-x}.}$

Sürekli Bernoulli dağılımı ortaya çıkar derin öğrenme ve Bilgisayar görüşü özellikle bağlamında değişken otomatik kodlayıcılar,^[4][5] doğal görüntülerin piksel yoğunluklarını modellemek için. Bu nedenle, yaygın olarak kullanılan ikili değişken için uygun bir olasılıksal karşılığı tanımlar. çapraz entropi genellikle sürekli olarak uygulanan kayıp, ${ displaystyle [0,1]}$değerli veriler.^[6][7][8][9] Bu uygulama, sürekli Bernoulli dağılımının normalleştirme sabitini görmezden gelmek anlamına gelir, çünkü ikili çapraz entropi kaybı, ayrık için yalnızca gerçek bir log-olabilirliği tanımlar, ${ displaystyle {0,1 }}$değerli veriler.

Sürekli Bernoulli ayrıca bir üstel aile dağılımlar. yazı ${ displaystyle eta = log sol ( lambda / (1- lambda) sağ)}$ için doğal parametre, yoğunluk kanonik biçimde yeniden yazılabilir:${ Displaystyle p (x | eta) propto exp ( eta x)}$.

İlgili dağılımlar

Bernoulli dağılımı

Sürekli Bernoulli, sürekli bir gevşeme olarak düşünülebilir. Bernoulli dağılımı, ayrık küme üzerinde tanımlanan ${ displaystyle {0,1 }}$ tarafından olasılık kütle fonksiyonu:

${ displaystyle p (x) = p ^ {x} (1-p) ^ {1-x},}$

nerede ${ displaystyle p}$ 0 ile 1 arasında bir skaler parametredir. Aynı işlevsel formun sürekli aralıkta uygulanması ${ displaystyle [0,1]}$ sürekli Bernoulli ile sonuçlanır olasılık yoğunluk fonksiyonu, normalleştirme sabitine kadar.

Beta dağılımı

Beta dağılımı yoğunluk işlevine sahiptir:

${ displaystyle p (x) propto x ^ { alpha -1} (1-x) ^ { beta -1}}$

şu şekilde yeniden yazılabilir:

${ displaystyle p (x) propto x_ {1} ^ { alpha _ {1} -1} x_ {2} ^ { alpha _ {2} -1},}$

nerede ${ displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}}$ pozitif skaler parametrelerdir ve ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ 1- içinde rastgele bir noktayı temsil ederbasit, ${ displaystyle Delta ^ {1} = {(x_ {1}, x_ {2}): x_ {1}> 0, x_ {2}> 0, x_ {1} + x_ {2} = 1 }}$. Parametrenin rolünü ve bu yoğunluk fonksiyonundaki argümanı değiştirerek şunu elde ederiz:

${ displaystyle p (x) propto alpha _ {1} ^ {x_ {1}} alpha _ {2} ^ {x_ {2}}.}$

Bu aile sadece tanımlanabilir doğrusal kısıtlamaya kadar ${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} = 1}$, nereden elde ederiz:

${ displaystyle p (x) propto lambda ^ {x_ {1}} (1- lambda) ^ {x_ {2}},}$

tam olarak sürekli Bernoulli yoğunluğuna karşılık gelir.

Üstel dağılım

Bir üstel dağılım birim aralıkla sınırlı, uygun parametreye sahip sürekli bir Bernoulli dağılımına eşdeğerdir.

Sürekli kategorik dağılım

Sürekli Bernoulli'nin çok değişkenli genellemesine, sürekli kategorik.^[10]

Referanslar