Logit-normal dağılım - Logit-normal distribution

Logit normal

Olasılık yoğunluk işlevi
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Gösterim	${ displaystyle P ({ mathcal {N}} ( mu, , sigma ^ {2}))}$
Parametreler	σ2 > 0 - kare ölçek (gerçek), μ ∈ R - yer
Destek	x ∈ (0, 1)
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} , e ^ {- { frac {( operatöradı {logit} (x) - mu) ^ {2} } {2 sigma ^ {2}}}} { frac {1} {x (1-x)}}}$
CDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} { Big [} 1+ operatorname {erf} { Big (} { frac { operatorname {logit} (x) - mu} { sqrt { 2 sigma ^ {2}}}} { Büyük)} { Büyük]}}$
Anlamına gelmek	analitik çözüm yok
Medyan	${ displaystyle P ( mu) ,}$
Mod	analitik çözüm yok
Varyans	analitik çözüm yok
MGF	analitik çözüm yok

İçinde olasılık teorisi, bir logit-normal dağılım bir olasılık dağılımı bir rastgele değişken kimin logit var normal dağılım. Eğer Y normal dağılıma sahip rastgele bir değişkendir ve P standarttır lojistik fonksiyon, sonra X = P(Y) logit-normal dağılıma sahiptir; aynı şekilde, eğer X logit normal olarak dağıtılırsa Y = logit (X) = günlük (X/(1-X)) normal olarak dağıtılır. Aynı zamanda lojistik normal dağılım,^[1] bu genellikle çok terimli bir logit versiyonunu ifade eder (ör.^[2][3][4][5]).

Bir değişken, sıfır ve bir ile sınırlanan ve sıfır ve bir değerlerinin asla oluşmadığı bir oran ise, logit-normal olarak modellenebilir.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk işlevi

olasılık yoğunluk fonksiyonu Logit normal dağılımının (PDF), 0 ≤ için x ≤ 1:

${ displaystyle f_ {X} (x; mu, sigma) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} , { frac {1} {x (1- x)}} , e ^ {- { frac {( operatöradı {logit} (x) - mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}}$

nerede μ ve σ bunlar anlamına gelmek ve standart sapma değişkenin logit (tanım gereği, değişkenin logit değeri normal olarak dağıtılır).

İşareti değiştirilerek elde edilen yoğunluk μ simetriktir, çünkü f (1-x; -μ,σ), modu 0,5'in diğer tarafına ((0,1) aralığının orta noktası) kaydırır.

Logitnormal PDF'nin çeşitli kombinasyonları için çizim μ (yönler) ve σ (renkler)

Anlar

Logit-normal dağılımın momentlerinin analitik bir çözümü yoktur. Anlar tarafından tahmin edilebilir Sayısal entegrasyon Bununla birlikte, sayısal entegrasyon engelleyici olabilir. ${ textstyle mu, sigma ^ {2}}$yoğunluk fonksiyonu sıfır ve bir son noktalarda sonsuza sapacak şekildedir. Bir alternatif, logit-normal'in normal bir rastgele değişkenin dönüşümü olduğu gözlemini kullanmaktır. Bu, aşağıdaki yarı Monte Carlo tahminiyle anları yaklaşık olarak tahmin etmemizi sağlar ${ displaystyle E [X ^ {n}] yaklaşık { frac {1} {K-1}} toplam _ {i = 1} ^ {K-1} sol (P sol ( Phi _ { mu, sigma ^ {2}} ^ {- 1} (i / K) sağ) sağ) ^ {n},}$

nerede ${ textstyle P}$ standart lojistik işlevdir ve ${ textstyle Phi _ { mu, sigma ^ {2}} ^ {- 1}}$ ortalama ve varyans ile normal dağılımın ters kümülatif dağılım fonksiyonudur ${ textstyle mu, sigma ^ {2}}$.

Mod veya modlar

Yoğunluğun türevi 0'a eşit olduğunda, x modunun konumu aşağıdaki denklemi karşılar:

${ displaystyle operatöradı {logit} (x) = sigma ^ {2} (2x-1) + mu.}$

Parametrelerin bazı değerleri için iki çözüm vardır, yani dağılım iki modlu.

Çok değişkenli genelleme

lojistik normal dağılım çok değişkenli normal dağılımın lojistik dönüşümü alınarak logit normal dağılımının D-boyutlu olasılık vektörlerine genelleştirilmesidir.^[6][7][8]

Olasılık yoğunluk işlevi

olasılık yoğunluk fonksiyonu dır-dir:

${ displaystyle f_ {X} ( mathbf {x}; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {| 2 pi { boldsymbol { Sigma }} | ^ { frac {1} {2}}}} , { frac {1} { prod limits _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}} , e ^ { - { frac {1} {2}} left { log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} sağ) - { kalın sembol { mu}} sağ } ^ { top} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} left { log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} sağ) - { boldsymbol { mu}} right }} quad, quad mathbf {x} içinde { mathcal {S}} ^ {D} ; ;,}$

nerede ${ displaystyle mathbf {x} _ {- D}}$ ilk (D-1) bileşenlerinin bir vektörünü gösterir ${ displaystyle mathbf {x}}$ ve ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {D}}$ gösterir basit D boyutlu olasılık vektörleri. Bu, eklemeli lojistik dönüşüm haritaya çok değişkenli normal rastgele değişken ${ displaystyle mathbf {y} sim { mathcal {N}} sol ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}} sağ) ;, ; mathbf {y} mathbb içinde {R} ^ {D-1}}$ simpleks için:

${ displaystyle mathbf {x} = sol [{ frac {e ^ {y_ {1}}} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}} }}, noktalar, { frac {e ^ {y_ {D-1}}} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}}}}, { frac {1} {1+ sum _ {i = 1} ^ {D-1} e ^ {y_ {i}}}} sağ] ^ { top}}$

Gauss yoğunluğu fonksiyonları ve lojistik dönüşümden sonra karşılık gelen lojistik normal yoğunluk fonksiyonları.

Benzersiz ters eşleme şu şekilde verilir:

${ displaystyle mathbf {y} = sol [ log sol ({ frac {x_ {1}} {x_ {D}}} sağ), noktalar, günlük sol ({ frac {x_ {D-1}} {x_ {D}}} sağ) sağ] ^ { top}}$.

Bu bir vektörün durumudur x hangi bileşenlerin toplamı birdir. Bu durumuda x sigmoidal elemanlarla, yani

${ displaystyle mathbf {y} = sol [ log sol ({ frac {x_ {1}} {1-x_ {1}}} sağ), noktalar, günlük sol ({ frac {x_ {D}} {1-x_ {D}}} sağ) sağ] ^ { top}}$

sahibiz

${ displaystyle f_ {X} ( mathbf {x}; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {| 2 pi { boldsymbol { Sigma }} | ^ { frac {1} {2}}}} , { frac {1} { prod limits _ {i = 1} ^ {D} left (x_ {i} (1-x_ {i}) sağ)}} , e ^ {- { frac {1} {2}} left { log left ({ frac { mathbf {x}} {1- mathbf { x}}} sağ) - { boldsymbol { mu}} right } ^ { top} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} left { log left ({ frac { mathbf {x}} {1- mathbf {x}}} sağ) - { boldsymbol { mu}} sağ }}}$

argümandaki günlük ve bölünmenin element olarak alındığı yer. Bunun nedeni, dönüşümün Jacobian matrisinin öğelerle köşegen olmasıdır. ${ displaystyle { frac {1} {x_ {i} (1-x_ {i})}}}$.

İstatistiksel analizde kullanın

Lojistik normal dağılım, daha esnek bir alternatiftir. Dirichlet dağılımı olasılık vektörlerinin bileşenleri arasındaki korelasyonları yakalayabilmesiyle. Aynı zamanda istatistiksel analizleri basitleştirme potansiyeline sahiptir. kompozisyon verileri veri vektörlerinin bileşenlerinin log oranları hakkındaki soruların cevaplanmasına izin vererek. Biri genellikle mutlak bileşen değerlerinden ziyade oranlarla ilgilenir.

Olasılık simpleks, sınırlı bir uzaydır ve tipik olarak aşağıdaki vektörlere uygulanan standart teknikleri yapar. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ daha az anlamlı. Aitchison bu tür yöntemleri doğrudan basit vektörlere uygularken ortaya çıkan sahte negatif korelasyonlar problemini tarif etti.^[7] Ancak, bileşimsel verilerin haritalanması ${ displaystyle { mathcal {S}} ^ {D}}$ ilave lojistik dönüşümün tersi ile gerçek değerli verileri verir ${ displaystyle mathbb {R} ^ {D-1}}$. Verilerin bu gösterimine standart teknikler uygulanabilir. Bu yaklaşım, lojistik normal dağılımın kullanımını haklı çıkarır ve bu nedenle "simpleksin Gauss'u" olarak kabul edilebilir.

Dirichlet dağılımı ile ilişki

Dirichlet dağılımına lojistik normal yaklaşım

Dirichlet ve lojistik normal dağılımlar hiçbir zaman herhangi bir parametre seçimi için tam olarak eşit değildir. Bununla birlikte, Aitchison, bir Dirichlet'e lojistik normale yaklaştırmak için bir yöntem tanımladı. Kullback-Leibler sapması (KL) küçültüldü:

${ displaystyle K (p, q) = int _ {{ mathcal {S}} ^ {D}} p sol ( mathbf {x} orta { boldsymbol { alpha}} sağ) günlük left ({ frac {p left ( mathbf {x} mid { boldsymbol { alpha}} right)} {q left ( mathbf {x} mid { kalın sembol { mu}} , { boldsymbol { Sigma}} sağ)}} sağ) , d mathbf {x}}$

Bu, aşağıdakilerle minimize edilir:

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} ^ {*} = mathbf {E} _ {p} sol [ log sol ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} sağ) sağ] quad, quad { boldsymbol { Sigma}} ^ {*} = { textbf {Var}} _ {p} left [ log left ({ frac { mathbf {x} _ {- D}} {x_ {D}}} sağ) sağ]}$

Dirichlet dağılımının moment özelliklerini kullanarak, çözüm şu terimlerle yazılabilir: digamma ${ displaystyle psi}$ ve trigamma ${ displaystyle psi '}$ fonksiyonlar:

${ displaystyle mu _ {i} ^ {*} = psi sol ( alpha _ {i} sağ) - psi sol ( alfa _ {D} sağ) dört, dört i = 1, ldots, D-1}$

${ displaystyle Sigma _ {ii} ^ {*} = psi ' sol ( alpha _ {i} sağ) + psi' sol ( alpha _ {D} sağ) dört, dört i = 1, ldots, D-1}$

${ displaystyle Sigma _ {ij} ^ {*} = psi ' sol ( alpha _ {D} sağ) dört, dört ben neq j}$

Bu yaklaşım özellikle büyük ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$. Aslında bunu bir kişi için gösterebilir ${ displaystyle alpha _ {i} rightarrow infty, i = 1, ldots, D}$bizde var ${ displaystyle p sol ( mathbf {x} orta { boldsymbol { alpha}} sağ) rightarrow q sol ( mathbf {x} orta { kalın sembol { mu}} ^ {*} , { boldsymbol { Sigma}} ^ {*} sağ)}$.

Ayrıca bakınız

• Beta dağılımı ve Kumaraswamy dağılımı benzer şekillere sahip sınırlı bir aralıktaki diğer iki parametreli dağılımlar

daha fazla okuma

• Frederic, P. ve Lad, F. (2008) Logitnormal Dağılımın İki Momenti. İstatistik-Simülasyon ve Hesaplamada İletişim. 37: 1263-1269
• Mead, R. (1965). "Genelleştirilmiş Logit-Normal Dağıtım". Biyometri. 21 (3): 721–732. doi:10.2307/2528553. JSTOR  2528553.

Dış bağlantılar

• logitnorm paketi için R