Conway – Maxwell – Poisson dağılımı - Conway–Maxwell–Poisson distribution

Conway – Maxwell – Poisson

Olasılık kütle fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${ displaystyle lambda> 0, nu geq 0}$
Destek	${ displaystyle x in {0,1,2, noktalar }}$
PMF	${ displaystyle { frac { lambda ^ {x}} {(x!) ^ { nu}}} { frac {1} {Z ( lambda, nu)}}}$
CDF	${ displaystyle toplamı _ {i = 0} ^ {x} Pr (X = i)}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle toplam _ {j = 0} ^ { infty} { frac {j lambda ^ {j}} {(j!) ^ { nu} Z ( lambda, nu)}}}$
Medyan	Kapalı form yok
Mod	Metni gör
Varyans	${ displaystyle toplamı _ {j = 0} ^ { infty} { frac {j ^ {2} lambda ^ {j}} {(j!) ^ { nu} Z ( lambda, nu) }} - operatöradı {ortalama} ^ {2}}$
Çarpıklık	Listelenmemiş
Örn. Basıklık	Listelenmemiş
Entropi	Listelenmemiş
MGF	${ displaystyle { frac {Z (e ^ {t} lambda, nu)} {Z ( lambda, nu)}}}$
CF	${ displaystyle { frac {Z (e ^ {it} lambda, nu)} {Z ( lambda, nu)}}}$

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, Conway – Maxwell – Poisson (CMP veya COM – Poisson) dağılımı bir ayrık olasılık dağılımı adını Richard W. Conway, William L. Maxwell, ve Siméon Denis Poisson genelleyen Poisson Dağılımı modele bir parametre ekleyerek aşırı dağılma ve az dağılma. Üyesidir üstel aile,^[1] Poisson dağılımına sahiptir ve geometrik dağılım gibi özel durumlar ve Bernoulli dağılımı olarak sınırlayıcı durum.^[2]

Arka fon

CMP dağılımı ilk olarak 1962'de Conway ve Maxwell tarafından önerildi^[3] kullanım için bir çözüm olarak kuyruk sistemleri duruma bağlı servis oranları ile. CMP dağılımı, Boatwright ve diğerleri tarafından istatistik literatürüne girmiştir. 2003 ^[4] ve Shmueli vd. (2005).^[2]. Dağılımın olasılık ve istatistiksel özellikleri ile ilgili ilk ayrıntılı araştırma Shmueli ve ark. (2005).^[2]. COM-Poisson dağılımının bazı teorik olasılık sonuçları Li ve ark. (2019),^[5] özellikle COM-Poisson dağılımının karakterizasyonları.

Olasılık kütle fonksiyonu ve temel özellikler

CMP dağılımı, aşağıdakilerle dağıtım olarak tanımlanır: olasılık kütle fonksiyonu

${ displaystyle P (X = x) = f (x; lambda, nu) = { frac { lambda ^ {x}} {(x!) ^ { nu}}} { frac {1} {Z ( lambda, nu)}}.}$

nerede :

${ displaystyle Z ( lambda, nu) = toplam _ {j = 0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {j}} {(j!) ^ { nu}}}.}$

İşlev ${ displaystyle Z ( lambda, nu)}$ olarak hizmet eder normalizasyon sabiti yani olasılık kütle fonksiyonunun toplamı birdir. Bunu not et ${ displaystyle Z ( lambda, nu)}$ kapalı bir formu yoktur.

Kabul edilebilir parametrelerin alanı ${ displaystyle lambda, nu> 0}$, ve ${ displaystyle 0 < lambda <1}$, ${ displaystyle nu = 0}$.

Ek parametre ${ displaystyle nu}$ görünmeyen Poisson Dağılımı bozunma oranının ayarlanmasına izin verir. Bu bozulma oranı, özellikle ardışık olasılık oranlarında doğrusal olmayan bir azalmadır.

${ displaystyle { frac {P (X = x-1)} {P (X = x)}} = { frac {x ^ { nu}} { lambda}}.}$

Ne zaman ${ displaystyle nu = 1}$CMP dağıtımı standart hale gelir Poisson Dağılımı ve benzeri ${ displaystyle nu ila infty}$dağıtım bir Bernoulli dağılımı parametre ile ${ displaystyle lambda / (1+ lambda)}$. Ne zaman ${ displaystyle nu = 0}$ CMP dağılımı bir geometrik dağılım başarı olasılığı ile ${ displaystyle 1- lambda}$ sağlanan ${ displaystyle lambda <1}$.^[2]

CMP dağılımı için, anlar özyinelemeli formül aracılığıyla bulunabilir ^[2]

${ displaystyle operatorname {E} [X ^ {r + 1}] = { begin {case} lambda , operatorname {E} [X + 1] ^ {1- nu} & { text { if}} r = 0 lambda , { frac {d} {d lambda}} operatöradı {E} [X ^ {r}] + operatöradı {E} [X] operatöradı {E} [X ^ {r}] ve { text {if}} r> 0. son {vakalar}}}$

Kümülatif dağılım fonksiyonu

Genel olarak ${ displaystyle nu}$için kapalı form formülü yoktur. kümülatif dağılım fonksiyonu nın-nin ${ displaystyle X sim mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$. Eğer ${ displaystyle nu geq 1}$ bir tamsayıdır, ancak aşağıdaki formülü şu şekilde elde edebiliriz: genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon:^[6]

${ displaystyle F (n) = P (X leq n) = 1 - { frac {_ {1} F _ { nu -1} (; n + 2, ldots, n + 2; lambda)} {{ {(n + 1)! } ^ { nu -1}} _ {0} F _ { nu -1} (; 1, ldots, 1; lambda)}}.}$

Normalleştirme sabiti

CMP dağılımının momentleri ve kümülantları gibi birçok önemli özet istatistiği, normalleştirme sabiti cinsinden ifade edilebilir. ${ displaystyle Z ( lambda, nu)}$.^[2][7] Nitekim, olasılık üreten fonksiyon dır-dir ${ displaystyle operatorname {E} s ^ {X} = Z (s lambda, nu) / Z ( lambda, nu)}$, ve anlamına gelmek ve varyans tarafından verilir

${ displaystyle operatorname {E} X = lambda { frac {d} {d lambda}} { büyük {} ln (Z ( lambda, nu)) { büyük }}}$

${ displaystyle operatorname {var} (X) = lambda { frac {d} {d lambda}} operatorname {E} X.}$

kümülant oluşturma işlevi dır-dir

${ displaystyle g (t) = ln ( operatöradı {E} [e ^ {tX}]) = ln (Z ( lambda e ^ {t}, nu)) - ln (Z ( lambda , nu)),}$

ve birikenler tarafından verilir

${ displaystyle kappa _ {n} = g ^ {(n)} (0) = { frac { kısmi ^ {n}} { kısmi t ^ {n}}} ln (Z ( lambda e ^ {t}, nu)) { bigg |} _ {t = 0}, quad n geq 1.}$

Normalleştirme sabiti iken ${ displaystyle Z ( lambda, nu) = toplam _ {i = 0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {i}} {(i!) ^ { nu}}}}$ genel olarak kapalı bir formu yoktur, dikkate değer bazı özel durumlar vardır:

• ${ displaystyle Z ( lambda, 1) = mathrm {e} ^ { lambda}}$

• ${ displaystyle Z ( lambda, 0) = (1- lambda) ^ {- 1}}$

• ${ displaystyle lim _ { nu sağ infty} Z ( lambda, nu) = 1 + lambda}$

• ${ displaystyle Z ( lambda, 2) = I_ {0} (2 { sqrt { lambda}})}$, nerede ${ displaystyle I_ {0} (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k!) ^ {2}}} { big (} { frac { x} {2}} { büyük)} ^ {2k}}$ bir değiştirilmiş Bessel işlevi birinci türden.^[7]

• Tamsayı için ${ displaystyle nu}$normalleştirme sabiti ifade edilebilir ^[6] genelleştirilmiş bir hipergeometrik fonksiyon olarak: ${ displaystyle Z ( lambda, nu) = _ {0} F _ { nu -1} (; 1, ldots, 1; lambda)}$.

Normalleştirme sabiti genel olarak kapalı bir forma sahip olmadığından, aşağıdaki asimptotik genişleme ilgi duyuyor. Düzelt ${ displaystyle nu> 0}$. Sonra ${ displaystyle lambda rightarrow infty}$, ^[8]

${ displaystyle Z ( lambda, nu) = { frac { exp sol { nu lambda ^ {1 / nu} sağ }} { lambda ^ {( nu -1) / 2 nu} (2 pi) ^ {( nu -1) / 2} { sqrt { nu}}}} sum _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} { büyük (} nu lambda ^ {1 / nu} { büyük)} ^ {- k},}$

nerede ${ displaystyle c_ {j}}$ genişleme tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir

${ Displaystyle sol ( Gama (t + 1) sağ) ^ {- nu} = { frac { nu ^ { nu (t + 1/2)}} { sol (2 pi sağ) ^ {( nu -1) / 2}}} toplam _ {j = 0} ^ { infty} { frac {c_ {j}} { Gama ( nu t + (1+ nu) / 2 + j)}}.}$

Özellikle, ${ displaystyle c_ {0} = 1}$, ${ displaystyle c_ {1} = { frac { nu ^ {2} -1} {24}}}$, ${ displaystyle c_ {2} = { frac { nu ^ {2} -1} {1152}} sol ( nu ^ {2} +23 sağ)}$. Daha ileri katsayılar verilir.^[8]

Anlar, kümülantlar ve ilgili sonuçlar

Genel değerler için ${ displaystyle nu}$CMP dağılımının ortalaması, varyansı ve momentleri için kapalı formül formülleri yoktur. Bununla birlikte, aşağıdaki düzgün formüle sahibiz.^[7] İzin Vermek ${ displaystyle (j) _ {r} = j (j-1) cdots (j-r + 1)}$ belirtmek düşen faktör. İzin Vermek ${ displaystyle X sim mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$, ${ displaystyle lambda, nu> 0}$. Sonra

${ displaystyle operatöradı {E} [((X) _ {r}) ^ { nu}] = lambda ^ {r},}$

için ${ displaystyle r in mathbb {N}}$.

Genel olarak kapalı formüller CMP dağılımının momentleri ve kümülantları için mevcut olmadığından, aşağıdaki asimptotik formüller ilgi çekicidir. İzin Vermek ${ displaystyle X sim mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$, nerede ${ displaystyle nu> 0}$. Belirtin çarpıklık ${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { kappa _ {3}} { sigma ^ {3}}}}$ ve aşırı basıklık ${ displaystyle gamma _ {2} = { frac { kappa _ {4}} { sigma ^ {4}}}}$, nerede ${ displaystyle sigma ^ {2} = mathrm {Var} (X)}$. Sonra ${ displaystyle lambda rightarrow infty}$, ^[8]

${ displaystyle operatorname {E} X = lambda ^ {1 / nu} sol (1 - { frac { nu -1} {2 nu}} lambda ^ {- 1 / nu} - { frac { nu ^ {2} -1} {24 nu ^ {2}}} lambda ^ {- 2 / nu} - { frac { nu ^ {2} -1} {24 nu ^ {3}}} lambda ^ {- 3 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 4 / nu}) sağ),}$

${ displaystyle mathrm {Var} (X) = { frac { lambda ^ {1 / nu}} { nu}} { bigg (} 1 + { frac { nu ^ {2} -1 } {24 nu ^ {2}}} lambda ^ {- 2 / nu} + { frac { nu ^ {2} -1} {12 nu ^ {3}}} lambda ^ {- 3 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 4 / nu}) { bigg)},}$

${ displaystyle kappa _ {n} = { frac { lambda ^ {1 / nu}} { nu ^ {n-1}}} { bigg (} 1 + { frac {(-1) ^ {n} ( nu ^ {2} -1)} {24 nu ^ {2}}} lambda ^ {- 2 / nu} + { frac {(-2) ^ {n} ( nu ^ {2} -1)} {48 nu ^ {3}}} lambda ^ {- 3 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 4 / nu}) { bigg)},}$

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { lambda ^ {- 1/2 nu}} { sqrt { nu}}} { bigg (} 1 - { frac {5 ( nu ^ {2} -1)} {48 nu ^ {2}}} lambda ^ {- 2 / nu} - { frac {7 ( nu ^ {2} -1)} {24 nu ^ {3}}} lambda ^ {- 3 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 4 / nu}) { bigg)},}$

${ displaystyle gamma _ {2} = { frac { lambda ^ {- 1 / nu}} { nu}} { bigg (} 1 - { frac {( nu ^ {2} -1 )} {24 nu ^ {2}}} lambda ^ {- 2 / nu} + { frac {( nu ^ {2} -1)} {6 nu ^ {3}}} lambda ^ {- 3 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 4 / nu}) { bigg)},}$

${ displaystyle operatorname {E} [X ^ {n}] = lambda ^ {n / nu} { bigg (} 1 + { frac {n (n- nu)} {2 nu}} lambda ^ {- 1 / nu} + a_ {2} lambda ^ {- 2 / nu} + { mathcal {O}} ( lambda ^ {- 3 / nu}) { bigg)} ,}$

nerede

${ displaystyle a_ {2} = - { frac {n ( nu -1) (6n nu ^ {2} -3n nu -15n + 4 nu +10)} {24 nu ^ {2} }} + { frac {1} { nu ^ {2}}} { bigg {} { binom {n} {3}} + 3 { binom {n} {4}} { bigg }}.}$

Asimptotik seriler ${ displaystyle kappa _ {n}}$ herkes için geçerli ${ displaystyle n geq 2}$, ve ${ displaystyle kappa _ {1} = operatöradı {E} X}$.

Tamsayı durumunda anlar ${ displaystyle nu}$

Ne zaman ${ displaystyle nu}$ bir tamsayı açık formülleridir anlar elde edilebilir. Dava ${ displaystyle nu = 1}$ Poisson dağılımına karşılık gelir. Şimdi varsayalım ki ${ displaystyle nu = 2}$. İçin ${ displaystyle m in mathbb {N}}$, ^[7]

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {m}] = { frac { lambda ^ {m / 2} I_ {m} (2 { sqrt { lambda}})} {I_ {0 } (2 { sqrt { lambda}})}}.}$

Anlar ve faktöryel anlar için bağlantı formülünü kullanmak,

${ displaystyle operatorname {E} X ^ {m} = toplam _ {k = 1} ^ {m} sol {{m atop k} sağ } { frac { lambda ^ {k / 2} I_ {k} (2 { sqrt { lambda}})} {I_ {0} (2 { sqrt { lambda}})}}.}$

Özellikle, anlamı ${ displaystyle X}$ tarafından verilir

${ displaystyle operatorname {E} X = { frac {{ sqrt { lambda}} I_ {1} (2 { sqrt { lambda}})} {I_ {0} (2 { sqrt { lambda}})}}.}$

Ayrıca, o zamandan beri ${ displaystyle operatöradı {E} X ^ {2} = lambda}$varyans şu şekilde verilir:

${ displaystyle mathrm {Var} (X) = lambda sol (1 - { frac {I_ {1} (2 { sqrt { lambda}}) ^ {2}} {I_ {0} (2 { sqrt { lambda}}) ^ {2}}} sağ).}$

Şimdi varsayalım ki ${ displaystyle nu geq 1}$ bir tamsayıdır. Sonra ^[6]

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {m}] = { frac {{ lambda ^ {m}} _ {0} F _ { nu -1} (; m + 1, ldots, m + 1; lambda)} {{(m!) ^ { nu -1}} _ {0} F _ { nu -1} (; 1, ldots, 1; lambda)}}.}$

Özellikle,

${ displaystyle operatorname {E} [X] = { frac { lambda _ {0} F _ { nu -1} (; 2, ldots, 2; lambda)} {_ {0} F _ { nu -1} (; 1, ldots, 1; lambda)}},}$

ve

${ displaystyle mathrm {Var} (X) = { frac {{ lambda ^ {2}} _ {0} F _ { nu -1} (; 3, ldots, 3; lambda)} {{ 2 ^ { nu -1}} _ {0} F _ { nu -1} (; 1, ldots, 1; lambda)}} + operatöradı {E} [X] - ( operatöradı {E} [X]) ^ {2}.}$

Medyan, mod ve ortalama sapma

İzin Vermek ${ displaystyle X sim mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$. Sonra mod nın-nin ${ displaystyle X}$ dır-dir ${ displaystyle lfloor lambda ^ {1 / nu} rfloor}$ Eğer ${ displaystyle lambda ^ {1 / nu}$ tamsayı değil. Aksi takdirde, modları ${ displaystyle X}$ vardır ${ displaystyle lambda ^ {1 / nu}}$ ve ${ displaystyle lambda ^ {1 / nu} -1}$.^[7]

Ortalama sapma ${ displaystyle X ^ { nu}}$ anlamı hakkında ${ displaystyle lambda}$ tarafından verilir ^[7]

${ displaystyle operatorname {E} | X ^ { nu} - lambda | = 2Z ( lambda, nu) ^ {- 1} { frac { lambda ^ { lfloor lambda ^ {1 / nu} rfloor +1}} { lfloor lambda ^ {1 / nu} rfloor!}}.}$

İçin açık bir formül bilinmemektedir. medyan nın-nin ${ displaystyle X}$, ancak aşağıdaki asimptotik sonuç mevcut.^[7] İzin Vermek ${ displaystyle m}$ medyanı olmak ${ displaystyle X sim { mbox {CMP}} ( lambda, nu)}$. Sonra

${ displaystyle m = lambda ^ {1 / nu} + { mathcal {O}} sol ( lambda ^ {1/2 nu} sağ)}$

gibi ${ displaystyle lambda rightarrow infty}$.

Stein karakterizasyonu

İzin Vermek ${ displaystyle X sim { mbox {CMP}} ( lambda, nu)}$ve varsayalım ki ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {+} mapsto mathbb {R}}$ şekildedir ${ displaystyle operatöradı {E} | f (X + 1) | < infty}$ ve ${ displaystyle operatöradı {E} | X ^ { nu} f (X) | < infty}$. Sonra

${ displaystyle operatöradı {E} [ lambda f (X + 1) -X ^ { nu} f (X)] = 0.}$

Tersine, varsayalım ki şimdi ${ displaystyle W}$ gerçek değerli rastgele bir değişkendir ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {+}}$ öyle ki ${ displaystyle operatöradı {E} [ lambda f (W + 1) -W ^ { nu} f (W)] = 0}$ her şey için ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {+} mapsto mathbb {R}}$. Sonra ${ displaystyle W sim { mbox {CMP}} ( lambda, nu)}$.^[7]

Sınırlayıcı bir dağıtım olarak kullanın

İzin Vermek ${ displaystyle Y_ {n}}$ var Conway – Maxwell – binom dağılımı parametrelerle ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle p = lambda / n ^ { nu}}$ ve ${ displaystyle nu}$. Düzelt ${ displaystyle lambda> 0}$ ve ${ displaystyle nu> 0}$. Sonra, ${ displaystyle Y_ {n}}$ dağıtımda yakınsar ${ displaystyle mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$ dağıtım olarak ${ displaystyle n rightarrow infty}$.^[7] Bu sonuç, binom dağılımının klasik Poisson yaklaşımını genelleştirir. Daha genel olarak, CMP dağılımı Conway – Maxwell – Poisson binom dağılımının sınırlayıcı bir dağılımı olarak ortaya çıkar.^[7] COM-binomial'in COM-Poisson'a yaklaştığı gerçeğinin dışında, Zhang ve ark. (2018)^[9] COM-negatif binom dağılımını gösterir olasılık kütle fonksiyonu

${ displaystyle mathrm {P} (X = k) = { frac {{{({ frac { Gama (r + k)} {k! Gama (r)}})} ^ { nu} } {p ^ {k}} {{(1-p)} ^ {r}}} { sum limits _ {i = 0} ^ { infty} {{({ frac { Gama (r + i)} {i! Gama (r)}})} ^ { nu}} {p ^ {i}} {{(1-p)} ^ {r}}}} = {{ sol ({ frac { Gama (r + k)} {k! Gama (r)}} sağ)} ^ { nu}} {{p ^ {k}} {{(1-p)} ^ {r }}} { frac {1} {C (r, nu, p)}}, quad (k = 0,1,2, ldots),}$

COM-Poisson olan sınırlayıcı bir dağılıma yakınsayan ${ displaystyle {r ila + infty}}$ .

İlgili dağılımlar

• ${ displaystyle X sim operatöradı {CMP} ( lambda, 1)}$, sonra ${ displaystyle X}$ Poisson dağılımını parametre ile takip eder ${ displaystyle lambda}$.

• Varsayalım ${ displaystyle lambda <1}$. O zaman eğer ${ displaystyle X sim mathrm {CMP} ( lambda, 0)}$bizde var ${ displaystyle X}$ olasılık kütle fonksiyonu ile geometrik dağılımı takip eder ${ displaystyle P (X = k) = lambda ^ {k} (1- lambda)}$, ${ displaystyle k geq 0}$.

• Rastgele değişken dizisi ${ displaystyle X _ { nu} sim mathrm {CMP} ( lambda, nu)}$ dağıtımda yakınsak ${ displaystyle nu rightarrow infty}$ ortalama ile Bernoulli dağılımına ${ displaystyle lambda (1+ lambda) ^ {- 1}}$.

Parametre tahmini

Verilerden CMP dağılımının parametrelerini tahmin etmenin birkaç yöntemi vardır. İki yöntem tartışılacaktır: ağırlıklı en küçük kareler ve maksimum olasılık. Ağırlıklı en küçük kareler yaklaşımı basit ve etkilidir ancak hassasiyetten yoksundur. Öte yandan, maksimum olasılık kesindir, ancak daha karmaşıktır ve hesaplama açısından yoğundur.

Ağırlıklı en küçük kareler

ağırlıklı en küçük kareler CMP dağılımının parametrelerinin kaba tahminlerini elde etmek ve dağılımın uygun bir model olup olmayacağını belirlemek için basit, verimli bir yöntem sağlar. Bu yöntemin kullanılmasının ardından, modelin uygun görülmesi halinde, parametrelerin daha doğru tahminlerini hesaplamak için alternatif bir yöntem kullanılmalıdır.

Bu yöntem, yukarıda tartışıldığı gibi ardışık olasılıklar ilişkisini kullanır. Bu denklemin her iki tarafının logaritmalarını alarak, aşağıdaki doğrusal ilişki ortaya çıkar

${ displaystyle log { frac {p_ {x-1}} {p_ {x}}} = - log lambda + nu log x}$

nerede ${ displaystyle p_ {x}}$ gösterir ${ displaystyle Pr (X = x)}$. Parametreleri tahmin ederken, olasılıklar aşağıdaki ile değiştirilebilir bağıl frekanslar nın-nin ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle x-1}$. CMP dağılımının uygun bir model olup olmadığını belirlemek için, bu değerler karşıt olarak çizilmelidir. ${ displaystyle log x}$ sıfır sayımı olmayan tüm oranlar için. Veriler doğrusal görünüyorsa, model muhtemelen uygun olacaktır.

Modelin uygunluğu belirlendikten sonra, bir regresyon uydurarak parametreler tahmin edilebilir. ${ displaystyle log ({ hat {p}} _ {x-1} / { hat {p}} _ {x})}$ açık ${ displaystyle log x}$. Ancak, temel varsayım Eş varyans ihlal edildi, yani a ağırlıklı en küçük kareler regresyon kullanılmalıdır. Ters ağırlık matrisi, her ikisi de aşağıda verilen ilk çaprazdaki tek adımlı kovaryanslar ile köşegendeki her oranın varyanslarına sahip olacaktır.

${ displaystyle operatorname {var} sol [ log { frac {{ hat {p}} _ {x-1}} {{ hat {p}} _ {x}}} sağ] yaklaşık { frac {1} {np_ {x}}} + { frac {1} {np_ {x-1}}}}$

${ displaystyle { text {cov}} left ( log { frac {{ hat {p}} _ {x-1}} {{ hat {p}} _ {x}}}, log { frac {{ hat {p}} _ {x}} {{ hat {p}} _ {x + 1}}} sağ) yaklaşık - { frac {1} {np_ {x}} }}$

Maksimum olasılık

CMP olasılık işlevi dır-dir

${ displaystyle { mathcal {L}} ( lambda, nu orta x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = lambda ^ {S_ {1}} exp (- nu S_ {2 }) Z ^ {- n} ( lambda, nu)}$

nerede ${ displaystyle S_ {1} = toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ve ${ displaystyle S_ {2} = toplam _ {i = 1} ^ {n} log x_ {i}!}$. Olasılığı en üst düzeye çıkarmak, aşağıdaki iki denklemi verir

${ displaystyle operatöradı {E} [X] = { çubuğu {X}}}$

${ displaystyle operatorname {E} [ log X!] = { overline { log X!}}}$

analitik bir çözüme sahip olmayan.

Bunun yerine maksimum olasılık tahminler sayısal olarak yaklaşıktır Newton – Raphson yöntemi. Her yinelemede, beklentiler, varyanslar ve kovaryans ${ displaystyle X}$ ve ${ displaystyle log X!}$ tahminler kullanılarak yaklaşıktır ${ displaystyle lambda}$ ve ${ displaystyle nu}$ ifadedeki önceki yinelemeden

${ displaystyle operatorname {E} [f (x)] = toplam _ {j = 0} ^ { infty} f (j) { frac { lambda ^ {j}} {(j!) ^ { nu} Z ( lambda, nu)}}.}$

Bu, yakınsamaya kadar devam eder ${ displaystyle { hat { lambda}}}$ ve ${ displaystyle { şapka { nu}}}$.

Genelleştirilmiş doğrusal model

Yukarıda tartışılan temel CMP dağılımı, aynı zamanda bir genelleştirilmiş doğrusal model (GLM) Bayes formülasyonu kullanarak. CMP dağıtımına dayalı çift bağlantılı bir GLM geliştirildi,^[10]ve bu model trafik kazası verilerini değerlendirmek için kullanılmıştır.^[11][12] Guikema ve Coffelt (2008) tarafından geliştirilen CMP GLM, yukarıdaki CMP dağıtımının yeniden formüle edilmesine dayanmaktadır. ${ displaystyle lambda}$ ile ${ displaystyle mu = lambda ^ {1 / nu}}$. Ayrılmaz parçası ${ displaystyle mu}$ o zaman dağıtımın modudur. Tam bir Bayes kestirim yaklaşımı, MCMC örnekleme uygulandı WinBugs ile bilgilendirici olmayan öncelikler regresyon parametreleri için.^[10][11] Bu yaklaşım hesaplama açısından pahalıdır, ancak regresyon parametreleri için tam posterior dağılımları sağlar ve bilgilendirici önceliklerin kullanımıyla uzman bilgisinin dahil edilmesine izin verir.

Genelleştiren bir CMP regresyonu için klasik bir GLM formülasyonu geliştirilmiştir. Poisson regresyonu ve lojistik regresyon.^[13] Bu, üstel aile zarif model tahmini elde etmek için CMP dağılımının özellikleri ( maksimum olasılık ), çıkarım, teşhis ve yorumlama. Bu yaklaşım, uzman bilgisinin modele dahil edilmesine izin vermeme pahasına Bayesci yaklaşımdan önemli ölçüde daha az hesaplama süresi gerektirir.^[13] Ek olarak, Bayes formülasyonu aracılığıyla elde edilebilen tam arka dağılımlara kıyasla regresyon parametreleri için (Fisher Information matrix aracılığıyla) standart hatalar verir. Aynı zamanda bir istatistiksel test Poisson modeline kıyasla dağılım seviyesi için. CMP regresyonunu uydurmak, dağılım için test etmek ve uyumu değerlendirmek için kod mevcuttur.^[14]

CMP dağıtımı için geliştirilen iki GLM çerçevesi, bu dağıtımın veri analizi problemleri için kullanışlılığını önemli ölçüde genişletmektedir.

Referanslar

Dış bağlantılar

• Conway – Maxwell – Poisson dağıtım paketi (compoisson), Jeffrey Dunn, Comprehensive R Archive Network (CRAN) parçası
• Tom Minka'nın hazırladığı R (compoisson) için Conway – Maxwell – Poisson dağıtım paketi, üçüncü taraf paketi