Landau dağılımı - Landau distribution

Landau dağılımı

Olasılık yoğunluk işlevi
Parametreler	${ displaystyle c in (0, infty)}$ — ölçek parametresi ${ displaystyle mu in (- infty, infty)}$ — konum parametresi
Destek	${ displaystyle mathbb {R}}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} { pi c}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} cos sol (t sol ({ frac {x- mu} {c}} right) + { frac {2t} { pi}} log left ({ frac {t} {c}} right) right) , dt}$
Anlamına gelmek	Tanımsız
Varyans	Tanımsız
MGF	Tanımsız
CF	${ displaystyle exp sol (it mu - { frac {2ict} { pi}} log | t | -c | t | sağ)}$

İçinde olasılık teorisi, Landau dağılımı^[1] bir olasılık dağılımı adını Lev Landau Dağılımın "şişman" kuyruğu nedeniyle, anlar dağılım, ortalama veya varyans gibi tanımsızdır. Dağıtım özel bir durumdur kararlı dağıtım.

Tanım

olasılık yoğunluk fonksiyonu, orijinal olarak Landau tarafından yazıldığı gibi, karmaşık integral:

${ displaystyle p (x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ai infty} ^ {a + i infty} e ^ {s log (s) + xs} , ds,}$

nerede a keyfi bir pozitiftir gerçek Numara Bu, entegrasyon yolunun gerçek pozitif yarı ekseni kesişen sanal eksene herhangi bir paralel olabileceği ve ${ displaystyle log}$ ifade eder doğal logaritma.

Aşağıdaki gerçek integral yukarıdakine eşdeğerdir:

${ displaystyle p (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t log (t) -xt} sin ( pi t) , dt.}$

Landau dağıtımlarının tam ailesi, orijinal dağıtımın bir konum ölçekli aile nın-nin kararlı dağılımlar parametrelerle ${ displaystyle alpha = 1}$ ve ${ displaystyle beta = 1}$,^[2] ile karakteristik fonksiyon:^[3]

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = exp sol (o mu - { tfrac {2ict} { pi}} log | t | -c | t | sağ)}$

nerede ${ displaystyle c in (0, infty)}$ ve ${ displaystyle mu in (- infty, infty)}$, bir yoğunluk işlevi veren:

${ displaystyle p (x; mu, c) = { frac {1} { pi c}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} cos sol (t sol ({ frac {x- mu} {c}} right) + { frac {2t} { pi}} log left ({ frac {t} {c}} right) sağ) , dt,}$

Orijinal biçiminin ${ displaystyle p (x)}$ için elde edilir ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle c = { frac { pi} {2}}}$, aşağıdaki bir tahmin iken^[4] nın-nin ${ displaystyle p (x; mu, c)}$ için ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle c = 1}$:

${ displaystyle p (x) yaklaşık { frac {1} { sqrt {2 pi}}} exp sol (- { frac {x + e ^ {- x}} {2}} sağ ).}$

İlgili dağılımlar

• Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {Landau}} ( mu, c) ,}$ sonra ${ displaystyle X + m sim { textrm {Landau}} ( mu + m, c) ,}$.
• Landau dağılımı bir kararlı dağıtım kararlılık parametresi ile ${ displaystyle alpha}$ ve çarpıklık parametresi ${ displaystyle beta}$ her ikisi de 1'e eşittir.

Referanslar