Çok değişkenli kararlı dağıtım - Multivariate stable distribution

çok değişkenli kararlı

Olasılık yoğunluk işlevi Çok değişkenli (iki değişkenli) kararlı dağılımı gösteren Isı Haritasıα = 1.1
Parametreler	${ displaystyle alpha in (0,2]}$ — üs ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$ - vardiya / konum vektörü ${ displaystyle Lambda (lar)}$ - küre üzerinde spektral sonlu bir ölçü
Destek	${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$
PDF	(analitik ifade yok)
CDF	(analitik ifade yok)
Varyans	Sonsuz ne zaman ${ displaystyle alpha <2}$
CF	metni gör

çok değişkenli kararlı dağıtım çok değişkenlidir olasılık dağılımı bu, tek değişkenli olanın çok değişkenli bir genellemesidir. kararlı dağıtım. Çok değişkenli kararlı dağılım, arasındaki doğrusal ilişkileri tanımlar kararlı dağıtım marjinaller.^{[açıklama gerekli ]} Tek değişkenli durumda olduğu gibi, dağılım, kendi açısından tanımlanır. karakteristik fonksiyon.

Çok değişkenli kararlı dağıtım, aynı zamanda bir uzantısı olarak da düşünülebilir. çok değişkenli normal dağılım. Parametresi var,α, 0 α ≤ 2 ve durumdaα = 2, çok değişkenli normal dağılıma eşdeğerdir. Simetrik olmayan dağılımlara izin veren ek bir çarpıklık parametresine sahiptir. çok değişkenli normal dağılım simetriktir.

Tanım

İzin Vermek ${ displaystyle mathbb {S}}$ birim küre olmak ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d} iki nokta üst üste mathbb {S} = {u in mathbb {R} ^ {d} iki nokta üst üste | u | = 1 }}$. Bir rastgele vektör, ${ displaystyle X}$, çok değişkenli kararlı bir dağılıma sahiptir - ${ displaystyle X sim S ( alpha, Lambda, delta)}$ -, eğer ortak karakteristik işlevi ${ displaystyle X}$ dır-dir^[1]

${ displaystyle operatorname {E} exp (iu ^ {T} X) = exp left {- int limits _ {s in mathbb {S}} sol {| u ^ {T } s | ^ { alpha} + i nu (u ^ {T} s, alpha) right } , Lambda (ds) + iu ^ {T} delta right }}$

nerede 0 <α <2 ve için ${ displaystyle y in mathbb {R}}$

${ displaystyle nu (y, alpha) = { başlar {vakalar} - mathbf {işaret} (y) tan ( pi alpha / 2) | y | ^ { alpha} ve alpha neq 1, (2 / pi) y ln | y | & alpha = 1. End {vakalar}}}$

Bu esasen Feldheim'ın sonucudur.^[2] herhangi bir kararlı rastgele vektörün bir spektral ölçü ile karakterize edilebileceği ${ displaystyle Lambda}$ (sonlu bir ölçü ${ displaystyle mathbb {S}}$) ve bir vardiya vektörü ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$.

Projeksiyonları kullanarak parametrelendirme

Kararlı bir rastgele vektörü tanımlamanın bir başka yolu da projeksiyonlar anlamındadır. Herhangi bir vektör için ${ displaystyle u}$projeksiyon ${ displaystyle u ^ {T} X}$ tek değişkenlidir ${ displaystyle alpha -}$biraz çarpıklıkla kararlı ${ displaystyle beta (u)}$, ölçek ${ displaystyle gama (u)}$ ve biraz kayma ${ displaystyle delta (u)}$. Gösterim ${ Displaystyle X sim S ( alfa, beta ( cdot), gama ( cdot), delta ( cdot))}$ X ile stabil ise kullanılır${ Displaystyle u ^ {T} X sim s ( alpha, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$her biri için ${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$. Bu, projeksiyon parametreleştirmesi olarak adlandırılır.

Spektral ölçü, projeksiyon parametresi fonksiyonlarını şu şekilde belirler:

${ displaystyle gamma (u) = { Bigl (} int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} Lambda (ds) { Bigr)} ^ {1 / alpha}}$

${ displaystyle beta (u) = int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} mathbf {işaret} (u ^ {T} s) Lambda (ds) / gamma (u) ^ { alpha}}$

${ displaystyle delta (u) = { {vakalar} u ^ {T} delta & alpha neq 1 u ^ {T} delta - mathbb {S} içinde int _ {s başlar } { tfrac { pi} {2}} u ^ {T} s ln | u ^ {T} s | Lambda (ds) & alpha = 1 end {case}}}$

Özel durumlar

Çok değişkenli özel durumlar vardır. karakteristik fonksiyon daha basit bir biçim alır. Kararlı bir marjinalin karakteristik fonksiyonunu şu şekilde tanımlayın:

${ displaystyle omega (y | alpha, beta) = { başla {vakalar} | y | ^ { alpha} sol [1-i beta ( tan { tfrac { pi alpha} { 2}}) mathbf {işaret} (y) sağ] & alpha neq 1 | y | left [1 + i beta { tfrac {2} { pi}} mathbf {işaret} (y) ln | y | sağ] & alpha = 1 end {durum}}}$

İzotropik çok değişkenli kararlı dağılım

Karakteristik işlevi${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- gamma _ {0} ^ { alpha} | u | ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) } }$ Spektral ölçü, sürekli ve tekdüze olup, radyal / izotropik simetriye yol açar.^[3]Çok normal durum için ${ displaystyle alpha = 2}$, bu bağımsız bileşenlere karşılık gelir, ancak durum böyle değildir ${ displaystyle alpha <2}$. İzotropi, özel bir eliptik durumdur (bir sonraki paragrafa bakın) - sadece ${ displaystyle Sigma}$ kimlik matrisinin bir katı olmak.

Eliptik konturlu çok değişkenli kararlı dağıtım

eliptik konturlu çok değişkenli kararlı dağıtım, çok değişkenli kararlı dağıtımın özel bir simetrik durumudur. X dır-dir α-stabil ve eliptik konturlu, sonra eklemi vardır karakteristik fonksiyon ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) ^ { alpha / 2} + iu ^ {T} delta) }}$ bazı vardiya vektörleri için ${ displaystyle delta in R ^ {d}}$ (var olduğunda ortalamaya eşittir) ve bazı pozitif tanımlı matris ${ displaystyle Sigma}$ (korelasyon matrisine benzer, ancak korelasyonun olağan tanımı anlamlı olmamakla birlikte). çok değişkenli normal dağılım: ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) + iu ^ {T} delta) }}$ ne zaman elde edildi α = 2.

Bağımsız bileşenler

Marjinaller bağımsızdır ${ displaystyle X_ {j} sim S ( alpha, beta _ {j}, gamma _ {j}, delta _ {j})}$, o zaman karakteristik işlev

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp sol {- toplamı _ {j = 1} ^ {m} omega (u_ {j} | alpha, beta _ {j }) gamma _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) sağ }}$

Bunu ne zaman gözlemleyin α = 2 bu tekrar çok değişkenli normale indirgenir; iid durumu ile izotropik durumun ne zaman çakışmadığını unutmayın. α <2. Bağımsız bileşenler, standart birim vektörler tarafından desteklenen spektral ölçü ile ayrı bir spektral ölçü özel bir durumdur (sonraki paragrafa bakınız).

Çok değişkenli (iki değişkenli) bağımsız kararlı dağılımı gösteren ısı haritasıα = 1

Çok değişkenli (iki değişkenli) bağımsız kararlı dağılımı gösteren ısı haritasıα = 2

Ayrık

Spektral ölçü kütle ile ayrıksa ${ displaystyle lambda _ {j}}$ -de ${ displaystyle s_ {j} in mathbb {S}, j = 1, ldots, m}$karakteristik fonksiyon

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp sol {- toplamı _ {j = 1} ^ {m} omega (u ^ {T} s_ {j} | alfa, 1) lambda _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) sağ }}$

Doğrusal özellikler

Eğer ${ Displaystyle X sim S ( alfa, beta ( cdot), gama ( cdot), delta ( cdot))}$ dır-dir d-boyutlu, Bir bir m x d matris ve ${ displaystyle b in mathbb {R} ^ {m},}$ sonra AX + b dır-dir m-boyutlu ${ displaystyle alpha}$Ölçek fonksiyonu ile kararlı ${ displaystyle gama (A ^ {T} cdot),}$ çarpıklık işlevi ${ displaystyle beta (A ^ {T} cdot),}$ ve konum işlevi ${ displaystyle delta (A ^ {T} cdot) + b ^ {T}.}$

Bağımsız bileşen modelinde çıkarım

Son günlerde^[4] doğrusal bir modelde (veya eşdeğer bir şekilde bir modelde) kapalı formda çıkarımın nasıl hesaplanacağı gösterildi. faktor analizi modeli), bağımsız bileşen modellerini içerir.

Daha spesifik olarak ${ displaystyle X_ {i} sim S ( alpha, beta _ {x_ {i}}, gamma _ {x_ {i}}, delta _ {x_ {i}}), i = 1, ldots, n}$ bir dizi i.i.d. gözlemlenmemiş tek değişkenli bir kararlı dağıtım. A boyutunda bilinen bir doğrusal ilişki matrisi verildiğinde ${ displaystyle n kere n}$, gözlem ${ displaystyle Y_ {i} = toplam _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} X_ {j}}$ gizli faktörlerin evrişimi olarak dağıtıldığı varsayılır ${ displaystyle X_ {i}}$. ${ displaystyle Y_ {i} = S ( alpha, beta _ {y_ {i}}, gamma _ {y_ {i}}, delta _ {y_ {i}})}$. Çıkarım görevi, en olası olanı hesaplamaktır. ${ displaystyle X_ {i}}$, doğrusal ilişki matrisi A ve gözlemler verildiğinde ${ displaystyle Y_ {i}}$. Bu görev, O (n³).

Bu yapı için bir uygulama çok kullanıcılı algılama kararlı, Gauss olmayan gürültü ile.

Ayrıca bakınız

• Çok değişkenli Cauchy dağılımı
• Çok değişkenli normal dağılım

Kaynaklar

• Mark Veillette'in kararlı dağıtım matlab paketi http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Danny Bickson'ın lineer-kararlı model Matlab paketindeki çıkarımı kullanılarak bu sayfadaki grafikler: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

Notlar