Mittag-Leffler dağılımı - Mittag-Leffler distribution

Mittag-Leffler dağılımları iki aile olasılık dağılımları yarım hatta ${ displaystyle [0, infty)}$. Bir gerçek tarafından parametrelendirilirler ${ displaystyle alpha in (0,1]}$ veya ${ displaystyle alpha [0,1]}$. Her ikisi de ile tanımlanır Mittag-Leffler işlevi, adını Gösta Mittag-Leffler.^[1]

Mittag-Leffler işlevi

Herhangi bir kompleks için ${ displaystyle alpha}$ gerçek kısmı pozitif olan dizi

${ displaystyle E _ { alpha} (z): = toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} { Gama (1+ alfa n)}}}$

bütün bir işlevi tanımlar. İçin ${ displaystyle alpha = 0}$, seri yalnızca yarıçaplı bir disk üzerinde birleşir, ancak analitik olarak genişletilebilir ${ displaystyle mathbb {C} - {1 }}$.

Mittag-Leffler dağıtımlarının ilk ailesi

Mittag-Leffler dağılımlarının ilk ailesi, Mittag-Leffler işlevi ile bunların arasındaki ilişki ile tanımlanır. kümülatif dağılım fonksiyonları.

Hepsi için ${ displaystyle alpha in (0,1]}$, işlev ${ displaystyle E _ { alpha}}$ gerçek hatta artıyor, yakınsıyor ${ displaystyle 0}$ içinde ${ displaystyle - infty}$, ve ${ displaystyle E _ { alpha} (0) = 1}$. Dolayısıyla işlev ${ displaystyle x eşlemeleri 1-E _ { alpha} (- x ^ { alpha})}$ negatif olmayan gerçek sayılar üzerindeki olasılık ölçüsünün kümülatif dağılım fonksiyonudur. Bu şekilde tanımlanan dağılım ve katlarından herhangi birine Mittag-Leffler düzen dağılımı denir. ${ displaystyle alpha}$.

Tüm bu olasılık dağılımları kesinlikle sürekli. Dan beri ${ displaystyle E_ {1}}$ üstel fonksiyon, sıranın Mittag-Leffler dağılımıdır ${ displaystyle 1}$ bir üstel dağılım. Ancak ${ displaystyle alpha (0,1)}$Mittag-Leffler dağılımları ağır kuyruklu. Laplace dönüşümleri şu şekilde verilir:

${ displaystyle mathbb {E} (e ^ {- lambda X _ { alpha}}) = { frac {1} {1+ lambda ^ { alpha}}},}$

ki bunun anlamı ${ displaystyle alpha (0,1)}$beklenti sonsuzdur. Ek olarak, bu dağıtımlar geometrik kararlı dağılımlar. Parametre tahmin prosedürleri burada bulunabilir.^[2][3]

Mittag-Leffler dağılımlarının ikinci ailesi

Mittag-Leffler dağılımlarının ikinci ailesi, Mittag-Leffler fonksiyonu ile bunların arasındaki ilişki ile tanımlanır. an üreten fonksiyonlar.

Hepsi için ${ displaystyle alpha [0,1]}$rastgele bir değişken ${ displaystyle X _ { alpha}}$ Mittag-Leffler düzen dağılımını takip ettiği söyleniyor ${ displaystyle alpha}$ eğer, bir süreliğine ${ displaystyle C> 0}$,

${ displaystyle mathbb {E} (e ^ {zX _ { alpha}}) = E _ { alpha} (Cz),}$

yakınsamanın hepsinin olduğu yerde ${ displaystyle z}$ karmaşık düzlemde eğer ${ displaystyle alpha in (0,1]}$, ve tüm ${ displaystyle z}$ yarıçaplı bir diskte ${ displaystyle 1 / C}$ Eğer ${ displaystyle alpha = 0}$.

Mittag-Leffler düzen dağılımı ${ displaystyle 0}$ üstel bir dağılımdır. Mittag-Leffler düzen dağılımı ${ displaystyle 1/2}$ a'nın mutlak değerinin dağılımı normal dağılım rastgele değişken. Mittag-Leffler düzen dağılımı ${ displaystyle 1}$ bir dejenere dağılım. Mittag-Leffler dağılımının ilk ailesinin aksine, bu dağılımlar yoğun değildir.

Bu dağılımlar genellikle Markov işlemlerinin yerel saatiyle ilişkili olarak bulunur.

Referanslar