Q-Gauss dağılımı - Q-Gaussian distribution

q-Gauss

Olasılık yoğunluk işlevi
Parametreler	${ displaystyle q <3}$ şekil (gerçek ) ${ displaystyle beta> 0}$ (gerçek )
Destek	${ displaystyle x in (- infty; + infty) !}$ için ${ displaystyle 1 leq q <3}$ ${ displaystyle x in sol [ pm {1 over { sqrt { beta (1-q)}}} sağ]}$ için ${ displaystyle q <1}$
PDF	${ displaystyle {{ sqrt { beta}} over C_ {q}} e_ {q} ({- beta x ^ {2}})}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle 0 { text {for}} q <2}$, aksi takdirde tanımsız
Medyan	${ displaystyle 0}$
Mod	${ displaystyle 0}$
Varyans	${ displaystyle {1 over { beta (5-3q)}} { text {for}} q <{5 over 3}}$ ${ displaystyle infty { text {for}} {5 over 3} leq q <2}$ ${ displaystyle { text {Tanımsız}} 2 leq q <3}$
Çarpıklık	${ displaystyle 0 { text {for}} q <{3 over 2}}$
Örn. Basıklık	${ displaystyle 6 {q-1 7-5q üzerinde} { text {for}} q <{7 over 5}}$

q-Gauss şunun maksimizasyonundan kaynaklanan bir olasılık dağılımıdır Tsallis entropisi uygun kısıtlamalar altında. Bu, bir Tsallis dağılımı. q-Gaussian, Gaussian'ın bir genellemesidir, tıpkı Tsallis entropisinin standardın bir genellemesi olduğu gibi Boltzmann-Gibbs entropisi veya Shannon entropisi.^[1] normal dağılım olarak kurtarıldı q → 1.

q-Gaussian, alanlarındaki problemlere uygulanmıştır. Istatistik mekaniği, jeoloji, anatomi, astronomi, ekonomi, finans, ve makine öğrenme. Dağıtım, genellikle ağır kuyruklar 1 için Gauss'a kıyasla < q <3. İçin ${ displaystyle q <1}$ q-Gauss dağılımı, sınırlı bir PDF dosyasıdır. rastgele değişken. Bu, biyolojide ve diğer alanlarda^[2] q-Gauss dağılımı, harici stokastisitenin etkisini modellemek için Gauss dağılımından daha uygundur. Genelleştirilmiş q- analog klasik Merkezi Limit Teoremi^[3] 2008'de önerildi, burada bağımsızlık kısıtlaması i.i.d. değişkenler tarafından tanımlanan ölçüde gevşetilir q parametre, bağımsızlık olarak kurtarılıyor q → 1. Bununla birlikte, böyle bir teoremin kanıtı hala eksiktir.^[4]

Yoğun kuyruk bölgelerinde dağılım şuna eşittir: Öğrenci t-dağıtım arasında doğrudan bir eşleme ile q ve özgürlük derecesi. Bu dağılımlardan birini kullanan bir uygulayıcı bu nedenle aynı dağılımı iki farklı şekilde parametreleştirebilir. Seçimi q-Gauss formu ortaya çıkabilir. kapsamlı olmayan veya küçük numune boyutlarıyla bağlantı eksikliği varsa.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk işlevi

q-Gaussian, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir ^[3]

${ displaystyle f (x) = {{ sqrt { beta}} C_ {q}} e_ {q} (- beta x ^ {2})} üzerinden$

nerede

${ displaystyle e_ {q} (x) = [1+ (1-q) x] _ {+} ^ {1 1-q üzerinden}}$

... qüstün ve normalleştirme faktörü ${ displaystyle C_ {q}}$ tarafından verilir

${ displaystyle C_ {q} = {{2 { sqrt { pi}} Gama sol ({1 1-q üzerinde} sağ)} üzeri {(3-q) { sqrt {1- q}} Gama left ({3-q over 2 (1-q)} right)}} { text {for}} - infty$

${ displaystyle C_ {q} = { sqrt { pi}} { text {for}} q = 1 ,}$

${ displaystyle C_ {q} = {{{ sqrt { pi}} Gamma left ({3-q over 2 (q-1)} sağ)} over {{ sqrt {q-1 }} Gamma left ({1 over q-1} right)}} { text {for}} 1$

İçin unutmayın ${ displaystyle q <1}$ q-Gauss dağılımı, sınırlı bir PDF dosyasıdır. rastgele değişken.

Entropi

Aynen normal dağılım maksimum bilgi entropisi ilk anın sabit değerleri için dağılım ${ displaystyle operatöradı {E} (X)}$ ve ikinci an ${ displaystyle operatöradı {E} (X ^ {2})}$ (sabit sıfırıncı an ile ${ displaystyle operatöradı {E} (X ^ {0}) = 1}$ normalizasyon durumuna karşılık gelen), q-Gauss dağılımı maksimumdur Tsallis entropisi bu üç momentin sabit değerleri için dağılım.

İlgili dağılımlar

Öğrenci t-dağıtım

İlginç bir alternatif entropi biçimi ile gerekçelendirilebilirken, istatistiksel olarak bu, Öğrenci t-dağıtım W. Gosset tarafından 1908'de küçük örneklem istatistiklerini tanımlamak için tanıtıldı. Gosset'in orijinal sunumunda, serbestlik derecesi parametresi ν örneklem büyüklüğüyle ilgili pozitif bir tamsayı olarak sınırlandırıldı, ancak Gosset'in yoğunluk fonksiyonunun tüm gerçek değerler için geçerli olduğu kolayca gözlemlendi. ν.^{[kaynak belirtilmeli ]} Ölçeklendirilmiş yeniden değerleme alternatif parametreleri sunar q ve β ile ilgili olan ν.

Bir Öğrencinin tile dağıtım ν serbestlik derecesi, eşdeğer q-Gaussian'ın

${ displaystyle q = { frac { nu +3} { nu +1}} { text {with}} beta = { frac {1} {3-q}}}$

ters ile

${ displaystyle nu = { frac {3-q} {q-1}}, { text {ancak yalnızca}} beta = { frac {1} {3-q}}.}$

Her ne zaman ${ displaystyle beta neq {1 {3-q}}} üzerinde$işlev, Öğrenci'nin basitçe ölçeklenmiş bir versiyonudur. t-dağıtım.

Bazen dağılımın Öğrenci'nin bir genellemesi olduğu tartışılır. t- negatif ve / veya tamsayı olmayan serbestlik derecelerine dağıtım. Bununla birlikte, Öğrenci teorisi t- dağıtım, dağıtımın desteğinin şu anda olduğu tüm gerçek özgürlük derecelerine önemsiz bir şekilde uzanır kompakt durumunda sonsuz yerine ν < 0.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Üç parametreli versiyon

Sıfır merkezli birçok dağıtımda olduğu gibi, q-Gauss, bir konum parametresi içerecek şekilde önemsiz şekilde genişletilebilir μ. Yoğunluk daha sonra şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle {{ sqrt { beta}} C_ {q}} üzerinde e_ {q} ({- beta (x- mu) ^ {2}}).}$

Rastgele sapmalar oluşturma

Box-Muller dönüşümü rastgele örneklemeye izin verecek şekilde genelleştirilmiştir. q- Gausslular.^[5] Standart Box – Muller tekniği, aşağıdaki formdaki denklemlerden normal olarak dağıtılmış bağımsız değişken çiftleri üretir.

${ displaystyle Z_ {1} = { sqrt {-2 ln (U_ {1})}} cos (2 pi U_ {2})}$

${ displaystyle Z_ {2} = { sqrt {-2 ln (U_ {1})}} sin (2 pi U_ {2})}$

Genelleştirilmiş Box-Muller tekniği çiftler oluşturabilir q-Bağımsız olmayan Gauss sapmaları. Uygulamada, tekdüze olarak dağıtılmış bir çift değişkenden yalnızca tek bir sapma üretilecektir. Aşağıdaki formül, bir q-Belirtilen parametreye sahip Gauss q ve ${ displaystyle beta = {1 {3-q}}} üzerinde$

${ displaystyle Z = { sqrt {-2 { text {ln}} _ {q '} (U_ {1})}} { text {cos}} (2 pi U_ {2})}$

nerede ${ displaystyle { text {ln}} _ {q}}$ ... q-logaritma ve ${ displaystyle q '= {{1 + q} {3-q}}} üzerinde$

Bu sapmalar, rastgele bir sapma oluşturmak için dönüştürülebilir. q-Gaussian sıralama

${ displaystyle Z '= mu + {Z { sqrt { beta (3-q)}}}}$

Başvurular

Fizik

Enerji tüketen optik kafeslerdeki soğuk atomların momentum dağılımının bir q- Gauss.^[6]

q-Gauss dağılımı da asimptotik olarak elde edilir. olasılık yoğunluk fonksiyonu iki kuvvete maruz kalan bir kütlenin tek boyutlu hareketinin konumu: tipin deterministik bir kuvveti ${ displaystyle F_ {1} (x) = - 2x / (1-x ^ {2})}$ (sonsuz bir potansiyel kuyu belirleyerek) ve stokastik beyaz gürültü kuvveti ${ displaystyle F_ {2} (t) = { sqrt {2 (1-q)}} xi (t)}$, nerede ${ displaystyle xi (t)}$ bir beyaz gürültü. Aşırı sönümlü / küçük kütle yaklaşımında yukarıda bahsedilen yakınsamanın başarısız olduğuna dikkat edin. ${ displaystyle q <0}$, yakın zamanda gösterildiği gibi.^[7]

Finansman

New York Borsası, NASDAQ ve diğer yerlerdeki finansal getiri dağılımları şu şekilde yorumlanmıştır: q- Gausslular.^[8][9]

Ayrıca bakınız

• Constantino Tsallis
• Tsallis istatistikleri
• Tsallis entropisi
• Tsallis dağılımı
• qüstel dağılım
• Q-Gauss süreci

Notlar

daha fazla okuma

• Ardıç, J. (2007) "Tsallis Dağılımı ve Genelleştirilmiş Entropi: Belirsizlik Altında Karar Vermeye Yönelik Gelecek Araştırmalar için Beklentiler", Tam İstihdam ve Eşitlik Merkezi, Newcastle Üniversitesi, Avustralya

Dış bağlantılar

• Tsallis İstatistikleri, Kapsamlı Olmayan Sistemler ve Uzun Menzilli Etkileşimler için İstatistiksel Mekanik