Lévy dağılımı - Lévy distribution

Lévy (değiştirilmemiş)

Olasılık yoğunluk işlevi
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${ displaystyle mu}$ yer; ${ displaystyle c> 0 ,}$ ölçek
Destek	${ displaystyle x in [ mu, infty)}$
PDF	${ displaystyle { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}} {(x - mu) ^ {3/2}}}}$
CDF	${ displaystyle { textrm {erfc}} sol ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} sağ)}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle infty}$
Medyan	${ displaystyle mu + c / 2 ({ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} ,}$
Mod	${ displaystyle mu + { frac {c} {3}}}$
Varyans	${ displaystyle infty}$
Çarpıklık	Tanımsız
Örn. Basıklık	Tanımsız
Entropi	${ displaystyle { frac {1 + 3 gamma + ln (16 pi c ^ {2})} {2}}}$ nerede ${ displaystyle gamma}$ ... Euler-Mascheroni sabiti
MGF	Tanımsız
CF	${ displaystyle e ^ {i mu t - { sqrt {-2ict}}}}$

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, Lévy dağılımı, adını Paul Lévy, bir sürekli olasılık dağılımı olumsuz olmayan için rastgele değişken. İçinde spektroskopi, bağımlı değişken olarak sıklığa sahip bu dağılım, van der Waals profili.^{[not 1]} Özel bir durumdur ters gama dağılımı. Bu bir kararlı dağıtım.

Tanım

olasılık yoğunluk fonksiyonu alan üzerindeki Lévy dağılımının ${ displaystyle x geq mu}$ dır-dir

${ displaystyle f (x; mu, c) = { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}} {(x- mu) ^ {3/2}}}}$

nerede ${ displaystyle mu}$ ... konum parametresi ve ${ displaystyle c}$ ... ölçek parametresi. Kümülatif dağılım işlevi

${ displaystyle F (x; mu, c) = { textrm {erfc}} sol ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} sağ)}$

nerede ${ displaystyle { textrm {erfc}} (z)}$ tamamlayıcı mı hata fonksiyonu. Vardiya parametresi ${ displaystyle mu}$ eğriyi bir miktar sağa kaydırma etkisine sahiptir ${ displaystyle mu}$ve desteğin aralıklarla değiştirilmesi [${ displaystyle mu}$, ${ displaystyle infty}$). Hepsi gibi kararlı dağılımlar Levy dağılımı aşağıdaki özelliğe sahip standart bir f (x; 0,1) biçimine sahiptir:

${ displaystyle f (x; mu, c) dx = f (y; 0,1) dy ,}$

nerede y olarak tanımlanır

${ displaystyle y = { frac {x- mu} {c}} ,}$

karakteristik fonksiyon Lévy dağılımının

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t - { sqrt {-2ict}}}.}$

Karakteristik fonksiyonun, kararlı dağıtım için kullanılan aynı biçimde yazılabileceğini unutmayın. ${ displaystyle alpha = 1/2}$ ve ${ displaystyle beta = 1}$:

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ { textrm {işaret}} (t))}. }$

Varsayım ${ displaystyle mu = 0}$, ninci an değiştirilmemiş Lévy dağılımı resmi olarak şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle m_ {n} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- c / 2x} , x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

herkes için farklı olan ${ displaystyle n geq 0.5}$ Böylece Lévy dağılımının tam sayı momentleri (sadece bazı kesirli momentler) mevcut değildir.

an oluşturma işlevi resmi olarak şu şekilde tanımlanacaktır:

${ displaystyle M (t; c) { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

ancak bu farklıdır ${ displaystyle t> 0}$ ve bu nedenle sıfır civarında bir aralıkta tanımlanmamaktadır, bu nedenle moment üreten fonksiyon tanımlanmamıştır aslında.

Hepsi gibi kararlı dağılımlar hariç normal dağılım Olasılık yoğunluğu fonksiyonunun kanadı, bir güç yasasına göre düşen ağır kuyruk davranışı sergiler:

${ displaystyle f (x; mu, c) sim { sqrt { frac {c} {2 pi}}} { frac {1} {x ^ {3/2}}}}$ gibi ${ displaystyle x ila infty,}$

bu da Lévy'nin sadece ağır kuyruklu ama aynı zamanda şişman kuyruklu. Bu, aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir, burada çeşitli değerler için olasılık yoğunluğu fonksiyonları c ve ${ displaystyle mu = 0}$ üzerine çizilmiştir günlük günlük grafiği.

Bir log-log grafiği üzerinde Lévy dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu

Standart Lévy dağılımı, olma koşulunu karşılar kararlı

${ displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + dotsb + X_ {n}) sim n ^ {1 / alpha} X}$,

nerede ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n}, X}$ bağımsız standart Lévy değişkenleridir. ${ displaystyle alpha = 1/2}$.

İlgili dağılımlar

• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ sonra ${ displaystyle kX + b , sim , { textrm {Levy}} (k mu + b, kc)}$
• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ sonra ${ displaystyle X , sim , { textrm {Inv-Gamma}} ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {c} {2}})}$ (ters gama dağılımı )
  Burada, Lévy dağılımı, özel bir durumdur. Pearson tip V dağılımı
• Eğer ${ displaystyle , Y , sim , { textrm {Normal}} ( mu, sigma)}$ (Normal dağılım ) sonra ${ displaystyle {(Y- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0,1 / sigma ^ {2})}$
• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Normal}} ( mu, { tfrac {1} { sqrt { sigma}}})}$ sonra ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0, sigma)}$
• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ sonra ${ displaystyle X , sim , { textrm {Kararlı}} (1 / 2,1, c, mu)}$ (Kararlı dağıtım )
• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ sonra ${ displaystyle X , sim , { textrm {Ölçek-inv -}} chi ^ {2} (1, c)}$ (Ölçeklenmiş-ters-ki-kare dağılımı )
• Eğer ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ sonra ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- { tfrac {1} {2}}} sim , { textrm {FoldedNormal}} (0,1 / { sqrt {c}})}$ (Katlanmış normal dağılım )

Rastgele örnek oluşturma

Lévy dağılımından rastgele numuneler kullanılarak üretilebilir ters dönüşüm örneklemesi. Rastgele bir varyasyon verildiğinde U ... dan çekilmiş üniforma dağıtımı birim aralığında (0, 1], değişken X veren^[1]

${ displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = { frac {c} {( Phi ^ {- 1} (1-U)) ^ {2}}} + mu}$

Lévy tarafından konum bilgisiyle dağıtılır ${ displaystyle mu}$ ve ölçeklendir ${ displaystyle c}$. Buraya ${ displaystyle Phi (x)}$ standardın kümülatif dağılım fonksiyonudur normal dağılım.

Başvurular

• Frekansı jeomanyetik ters çevirmeler bir Lévy dağılımını takip ediyor gibi görünüyor
• vurma zamanı uzaktan tek bir nokta ${ displaystyle alpha}$ başlangıç ​​noktasından itibaren Brown hareketi ile Lévy dağılımı ${ displaystyle c = alpha ^ {2}}$. (Kaymalı bir Brown hareketi için, bu sefer bir ters Gauss dağılımı Limit olarak Lévy dağılımına sahiptir.)
• Bulanık bir ortamda bir fotonun izlediği yolun uzunluğu Lévy dağılımını izler.^[2]
• Bir Cauchy süreci olarak tanımlanabilir Brown hareketi tabi bir Lévy dağılımı ile ilişkili bir sürece.^[3]

Dipnotlar

Notlar

Referanslar

• "Kararlı dağıtımlarla ilgili bilgiler". Alındı 13 Temmuz 2005. - John P. Nolan'ın kararlı dağıtımlara girişi, kararlı yasalar üzerine bazı makaleler ve kararlı yoğunlukları, kümülatif dağılım işlevlerini, nicelikleri, tahmin parametrelerini vb. Hesaplamak için ücretsiz bir program. Özellikle bkz. Kararlı dağıtımlara giriş, Bölüm 1

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Lévy Dağılımı". MathWorld.