Genelleştirilmiş aşırı değer dağılımı - Generalized extreme value distribution

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Genelleştirilmiş uç değer dağılımı"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Mayıs 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Gösterim	${ displaystyle { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , xi)}$
Parametreler	μ ∈ R — yer, σ > 0 — ölçek, ξ ∈ R — şekil.
Destek	x ∈ [ μ − σ / ξ, + ∞) ne zaman ξ > 0, x ∈ (−∞, + ∞) ne zaman ξ = 0, x ∈ (−∞, μ − σ / ξ ] ne zaman ξ < 0.
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma}} , t (x) ^ { xi +1} e ^ {- t (x)},}$   nerede ${ displaystyle t (x) = { {vakalar} { büyük (} 1+ xi ({ tfrac {x- mu} { sigma}}) { büyük)} ^ {- 1 / başlar xi} & { textrm {if}} xi neq 0 e ^ {- (x- mu) / sigma} & { textrm {if}} xi = 0 end {vakalar} }}$
CDF	${ displaystyle e ^ {- t (x)}, ,}$ için x ∈ destek
Anlamına gelmek	${ displaystyle { begin {case} mu + sigma (g_ {1} -1) / xi & { text {if}} xi neq 0, xi <1, mu + sigma , gamma & { text {if}} xi = 0, infty & { text {if}} xi geq 1, end {case}}}$ nerede gk = Γ (1 − kξ), ve ${ displaystyle gamma}$ dır-dir Euler sabiti.
Medyan	${ displaystyle { begin {case} mu + sigma { frac {( ln 2) ^ {- xi} -1} { xi}} & { text {if}} xi neq 0, mu - sigma ln ln 2 & { text {if}} xi = 0. End {vakalar}}}$
Mod	${ displaystyle { begin {case} mu + sigma { frac {(1+ xi) ^ {- xi} -1} { xi}} ve { text {if}} xi neq 0, mu & { text {if}} xi = 0. end {vakalar}}}$
Varyans	${ displaystyle { begin {case} sigma ^ {2} , (g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) / xi ^ {2} & { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {2}}, sigma ^ {2} , { frac { pi ^ {2}} {6}} & { text {if} } xi = 0, infty & { text {if}} xi geq { frac {1} {2}}, end {vakalar}}}$.
Çarpıklık	${ displaystyle { begin {case} operatorname {sgn} ( xi) { frac {g_ {3} -3g_ {2} g_ {1} + 2g_ {1} ^ {3}} {(g_ {2 } -g_ {1} ^ {2}) ^ {3/2}}} & { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {3}}, { frac {12 { sqrt {6}} , zeta (3)} { pi ^ {3}}} & { text {if}} xi = 0. end {case}}}$ nerede ${ displaystyle operatöradı {sgn} (x)}$ ... işaret fonksiyonu ve ${ displaystyle zeta (x)}$ ... Riemann zeta işlevi
Örn. Basıklık	${ displaystyle { begin {case} { frac {g_ {4} -4g_ {3} g_ {1} -3g_ {2} ^ {2} + 12g_ {2} g_ {1} ^ {2} -6g_ {1} ^ {4}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {2}}} ve { text {if}} xi neq 0, xi <{ frac {1} {4}}, { frac {12} {5}} & { text {if}} xi = 0. end {vakalar}}}$
Entropi	${ displaystyle log ( sigma) , + , gamma xi , + , gamma , + , 1}$
MGF	[1]
CF	[1]

İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, genelleştirilmiş aşırı değer (GEV) dağıtım sürekli bir ailedir olasılık dağılımları içinde geliştirildi aşırı değer teorisi birleştirmek için Gumbel, Fréchet ve Weibull tip I, II ve III aşırı değer dağılımları olarak da bilinen aileler. Tarafından aşırı değer teoremi GEV dağılımı, bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış rasgele değişkenler dizisinin düzgün şekilde normalleştirilmiş maksimumlarının olası tek limit dağılımıdır.^[2] Dağıtımın kuyruğunda düzenlilik koşulları gerektiren bir limit dağıtımının olması gerektiğine dikkat edin. Buna rağmen, GEV dağılımı genellikle rasgele değişkenlerin uzun (sonlu) dizilerinin maksimumlarını modellemek için bir yaklaşım olarak kullanılır.

Bazı uygulama alanlarında, genelleştirilmiş aşırı değer dağılımı, Fisher – Tippett dağıtımı, adını Ronald Fisher ve L. H. C. Tippett aşağıda özetlenen üç farklı formu tanıyan. Bununla birlikte, bu adın kullanımı bazen özel durum anlamına gelmek üzere sınırlandırılmıştır. Gumbel dağılımı. 3 dağıtımın tümü için ortak işlevsel formun kökeni en azından Jenkinson, A.F. (1955) 'e dayanır.^[3] iddiaya göre^[4] Mises, R. (1936) tarafından da verilmiş olabilir.^[5]

Şartname

Standartlaştırılmış değişkeni kullanma ${ displaystyle s = (x- mu) / sigma ,,}$ nerede ${ displaystyle mu ,,}$ konum parametresi, herhangi bir gerçek sayı olabilir ve ${ displaystyle sigma> 0}$ ölçek parametresidir; GEV dağılımının kümülatif dağılım işlevi bu durumda

$${ displaystyle F (s; xi) = { başlar {vakalar} exp { Bigl (} - exp (-s) { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi = 0 {} exp { Bigl (} - (1+ xi s) ^ {- 1 / xi} { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi neq 0 ~~ { text {ve}} ~~ xi , s> -1 {} 0 & ~~ { text {for}} ~~ xi> 0 ~~ { text { ve}} ~~ xi , s leq -1 {} 1 & ~~ { text {for}} ~~ xi <0 ~~ { text {ve}} ~~ xi , s leq -1 ~, end {vakalar}}}$$

nerede ${ displaystyle xi ,,}$ şekil parametresi herhangi bir gerçek sayı olabilir. Böylece ${ displaystyle xi> 0}$, ifade için geçerlidir ${ displaystyle s> -1 / xi ,,}$ süre için ${ displaystyle xi <0}$ için geçerlidir ${ displaystyle s <-1 / xi ,.}$ İlk durumda, ${ displaystyle -1 / xi}$ negatif, alt uç noktadır, burada ${ displaystyle F}$ 0; ikinci durumda, ${ displaystyle -1 / xi}$ pozitif, üst uç noktadır, burada ${ displaystyle F}$ 1. için ${ displaystyle xi = 0}$ ikinci ifade resmi olarak tanımsızdır ve ikincinin sınırını almanın sonucu olan ilk ifade ile değiştirilir. ${ displaystyle xi ile 0}$ bu durumda ${ displaystyle s}$ herhangi bir gerçek sayı olabilir.

Ortalamanın özel durumunda ${ displaystyle x = mu ,,}$ yani ${ displaystyle s = 0}$ ve ${ displaystyle F (s; xi) = exp (-1)}$ ≈ ${ displaystyle 0.368}$ değerler ne olursa olsun ${ displaystyle xi}$ ve ${ displaystyle sigma}$ olabilir.

Standartlaştırılmış dağılımın olasılık yoğunluğu işlevi

$${ displaystyle f (s; xi) = { başlar {vakalar} exp (-s) exp { Bigl (} - exp (-s) { Bigr)} & ~~ { text {için }} ~~ xi = 0 {} { Bigl (} 1+ xi s { Bigr)} ^ {- (1 + 1 / xi)} exp { Bigl (} - ( 1+ xi s) ^ {- 1 / xi} { Bigr)} & ~~ { text {for}} ~~ xi neq 0 ~~ { text {ve}} ~~ xi , s> -1 {} 0 & ~~ { text {aksi takdirde,}} end {vakalar}}}$$

tekrar geçerli ${ displaystyle s> -1 / xi}$ durumda ${ displaystyle xi> 0 ,,}$ ve için ${ displaystyle s <-1 / xi}$ durumda ${ displaystyle xi <0 ,.}$ Yoğunluk, ilgili aralığın dışında sıfırdır. Durumda ${ displaystyle xi = 0}$ yoğunluk tüm gerçek çizgide pozitiftir.

Kümülatif dağılım işlevi tersinir olduğu için, GEV dağılımı için kuantil fonksiyonun açık bir ifadesi vardır, yani

$${ displaystyle Q (p; mu, sigma, xi) = { başlar {vakalar} mu - sigma log { Bigl (} - log sol (p sağ) , { Bigr )} & ~ { text {for}} ~ xi = 0 ~ { text {ve}} ~ p in left (0,1 right) {} mu + displaystyle {{ , sigma ,} over {, xi ,}} left ({ Bigl (} - log (p) , { Bigr)} ^ {- xi} -1 sağ) & ~ { text {for}} ~ xi> 0 ~ { text {ve}} ~ p in left [0,1 right) {} & ~~ { text {veya}} ~ , xi <0 ~ { text {ve}} ~ p in (0,1] ;, end {vakalar}}}$$

ve bu nedenle kuantil yoğunluk fonksiyonu ${ displaystyle sol (q eşdeğeri { frac {; operatöradı {d} Q ;} { operatöradı {d} p}} sağ)}$ dır-dir

${ Displaystyle q (p; sigma, xi) = { frac { sigma} {; { Bigl (} - log sol (p sağ) , { Bigr)} ^ { xi +1} , p ,}} quad { text {for}} ~~ p in left (0,1 right) ;,}$

Şunun için geçerli ${ displaystyle ~ sigma> 0 ~}$ ve herhangi bir gerçek için ${ displaystyle ~ xi ;.}$

Özet istatistikler

Dağılımın bazı basit istatistikleri:^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle operatorname {E} (X) = mu + sol (g_ {1} -1 sağ) { frac { sigma} { xi}}}$ için ${ displaystyle xi <1}$

${ displaystyle operatorname {Var} (X) = sol (g_ {2} -g_ {1} ^ {2} sağ) { frac { sigma ^ {2}} { xi ^ {2}} },}$

${ displaystyle operatorname {Mod} (X) = mu + { frac { sigma} { xi}} [(1+ xi) ^ {- xi} -1].}$

çarpıklık ξ> 0 içindir

${ displaystyle operatorname {çarpıklık} (X) = { frac {g_ {3} -3g_ {2} g_ {1} + 2g_ {1} ^ {3}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {3/2}}}}$

Ξ <0 için, payın işareti tersine çevrilir.

Fazlalık Basıklık dır-dir:

${ displaystyle operatorname {basıklık fazlalık} (X) = { frac {g_ {4} -4g_ {3} g_ {1} + 6g_ {2} g_ {1} ^ {2} -3g_ {1} ^ {4}} {(g_ {2} -g_ {1} ^ {2}) ^ {2}}} - 3.}$

nerede ${ displaystyle g_ {k} = Gama (1-k xi)}$, k = 1,2,3,4 ve ${ displaystyle Gama (t)}$ ... gama işlevi.

Fréchet, Weibull ve Gumbel ailelerine bağlantı

Şekil parametresi ${ displaystyle xi}$ dağılımın kuyruk davranışını yönetir. Tarafından tanımlanan alt aileler ${ displaystyle xi = 0}$, ${ displaystyle xi> 0}$ ve ${ displaystyle xi <0}$ sırasıyla, kümülatif dağılım fonksiyonları aşağıda gösterilen Gumbel, Fréchet ve Weibull ailelerine karşılık gelir.

• Gumbel veya tip I aşırı değer dağılımı (${ displaystyle xi = 0}$)

${ displaystyle F (x; mu, sigma, 0) = e ^ {- e ^ {- (x- mu) / sigma}} ; ; ; { metni {için}} ; mathbb içinde ; x {R}.}$

• Fréchet veya tip II aşırı değer dağılımı, eğer ${ displaystyle xi = alpha ^ {- 1}> 0}$ ve ${ displaystyle y = 1 + xi (x- mu) / sigma}$

${ displaystyle F (x; mu, sigma, xi) = { başlar {vakalar} e ^ {- y ^ {- alfa}} ve y> 0 0 ve y leq 0. son {vakalar} }}$

• Ters Weibull veya tip III aşırı değer dağılımı, eğer ${ displaystyle xi = - alpha ^ {- 1} <0}$ ve ${ Displaystyle y = - sol (1+ xi (x- mu) / sigma sağ)}$

${ displaystyle F (x; mu, sigma, xi) = { başla {vakalar} e ^ {- (- y) ^ { alfa}} ve y <0 1 ve y geq 0 son {vakalar }}}$

Aşağıdaki alt bölümler, bu dağılımların özelliklerine işaret etmektedir.

Maxima yerine minima modifikasyonu

Buradaki teori, veri maksimumları ile ilgilidir ve tartışılan dağılım, maksimumlar için aşırı bir değer dağılımıdır. Veri minimumları için genelleştirilmiş bir uç değer dağılımı, örneğin (-x) için x dağıtım işlevinde ve birinden çıkarıldığında: bu, ayrı bir dağılım ailesi verir.

Weibull dağıtımı için alternatif kongre

Sıradan Weibull dağılımı, güvenilirlik uygulamalarında ortaya çıkar ve değişken kullanılarak buradaki dağılımdan elde edilir. ${ displaystyle t = mu -x}$, buradaki aşırı değer teorisindeki kullanımın aksine, kesinlikle olumlu bir destek sağlar. Bu, sıradan Weibull dağılımının veri maksimumları yerine minimum veri ile ilgili durumlarda kullanılması nedeniyle ortaya çıkar. Buradaki dağılım, Weibull dağılımının olağan biçimine kıyasla bir toplama parametresine sahiptir ve buna ek olarak, dağılımın bir alt sınır yerine bir üst sınıra sahip olması için tersine çevrilir. Daha da önemlisi, GEV uygulamalarında üst sınır bilinmemektedir ve bu nedenle tahmin edilmelidir, ancak güvenilirlik uygulamalarında sıradan Weibull dağılımını uygularken alt sınırın genellikle sıfır olduğu bilinmektedir.

Dağılımların aralıkları

Üç uç değer dağılımı için ilgi aralıklarındaki farklılıklara dikkat edin: Gumbel sınırsızdır, Fréchet daha düşük bir limite sahipken, tersine çevrilmiş Weibull bir üst limiti vardır Daha doğrusu, Aşırı Değer Teorisi (Tek Değişkenli Teori) X başlangıç ​​yasasına göre ve özellikle kuyruğuna bağlı olarak üçünden hangisinin sınırlayıcı yasa olduğunu açıklar.

Günlük değişkenlerinin dağılımı

Tip I, tip II ve III'e şu şekilde bağlanabilir: eğer bazı rasgele değişkenlerin kümülatif dağılım fonksiyonu ${ displaystyle X}$ tip II'dir ve pozitif sayılar destek olarak, yani ${ displaystyle F (x; 0, sigma, alpha)}$, ardından kümülatif dağılım işlevi ${ displaystyle ln X}$ tip I, yani ${ displaystyle F (x; ln sigma, 1 / alpha, 0)}$. Benzer şekilde, kümülatif dağılım işlevi ${ displaystyle X}$ tip III'tür ve destek olarak negatif sayılarla, yani ${ displaystyle F (x; 0, sigma, - alfa)}$, ardından kümülatif dağılım işlevi ${ displaystyle ln (-X)}$ tip I, yani ${ displaystyle F (x; - ln sigma, 1 / alpha, 0)}$.

Logit modellerine bağlantı (lojistik regresyon)

Çok terimli logit modeller ve diğer bazı lojistik regresyon, şu şekilde ifade edilebilir: Gizli değişken modelleri ile hata değişkenleri olarak dağıtıldı Gumbel dağılımları (tip I genelleştirilmiş uç değer dağılımları). Bu ifade teorisinde yaygındır ayrık seçim içeren modeller logit modelleri, probit modelleri ve bunların çeşitli uzantılarıdır ve iki tip-I GEV-dağıtılmış değişkenin farkının bir lojistik dağıtım, bunlardan logit işlevi ... kuantil fonksiyon. Tip-I GEV dağılımı, bu nedenle bu logit modellerinde, normal dağılım karşılık gelen probit modellerinde yapar.

Özellikleri

kümülatif dağılım fonksiyonu genelleştirilmiş aşırı değer dağılımının kararlılık varsayımı denklem.^{[kaynak belirtilmeli ]} Genelleştirilmiş aşırı değer dağılımı, maksimum kararlı dağılımın özel bir durumudur ve minimum kararlı dağılımın dönüşümüdür.

Başvurular

• GEV dağıtımı, sigortadan finansa kadar çeşitli alanlarda "kuyruk risklerinin" tedavisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. İkinci durumda, çeşitli finansal riskleri aşağıdaki gibi ölçütler aracılığıyla değerlendirmenin bir yolu olarak kabul edilmiştir. Riskteki değer.^[6][7]

Ekim, Surinam'da aylık maksimum bir günlük yağışlara uygun GEV olasılık dağılımı^[8]

• Bununla birlikte, sonuçta ortaya çıkan şekil parametrelerinin, tanımlanmamış araçlara ve varyanslara yol açan aralıkta olduğu bulunmuştur, bu da güvenilir veri analizinin genellikle imkansız olduğu gerçeğinin altını çizmektedir.^[9]

• İçinde hidroloji GEV dağılımı, yıllık maksimum bir günlük yağışlar ve nehir deşarjları gibi aşırı olaylara uygulanır. İle yapılan mavi resim CumFreq, GEV dağılımının yıllık maksimum bir günlük yağışlara uydurulmasının bir örneğini gösterir ve% 90'ı da gösterir. güven kemeri göre Binom dağılımı. Yağış verileri şu şekilde temsil edilmektedir: pozisyonları planlamak bir parçası olarak kümülatif frekans analizi.

Normal dağıtılmış değişkenler için örnek

İzin Vermek ${ displaystyle (X_ {i}) _ {i [n]}}$ iid olmak. normal dağılım ortalaması 0 ve varyansı 1 olan rastgele değişkenler Fisher – Tippett – Gnedenko teoremi bize bunu söyler${ displaystyle max _ {i içinde [n]} X_ {i} sim GEV ( mu _ {n}, sigma _ {n}, 0)}$,nerede

${ displaystyle { başla {hizalı} mu _ {n} & = Phi ^ {- 1} sol (1 - { frac {1} {n}} sağ) sigma _ {n} & = Phi ^ {- 1} left (1 - { frac {1} {n}} cdot mathrm {e} ^ {- 1} right) - Phi ^ {- 1} left ( 1 - { frac {1} {n}} sağ) uç {hizalı}}}$.

Bu, örn. anlamı ${ displaystyle max _ {i içinde [n]} X_ {i}}$GEV dağılımının ortalamasından:

${ displaystyle { begin {align} E sol [ max _ {i in [n]} X_ {i} sağ] ve yaklaşık mu _ {n} + gamma sigma _ {n} & = (1- gamma) Phi ^ {- 1} (1-1 / n) + gamma Phi ^ {- 1} (1-1 / (tr)) & = { sqrt { log left ({ frac {n ^ {2}} {2 pi log left ({ frac {n ^ {2}} {2 pi}} sağ)}} sağ)}} cdot left (1 + { frac { gamma} { log (n)}} + { mathcal {o}} left ({ frac {1} { log (n)}} sağ) sağ) end {hizalı}}}$

İlgili dağılımlar

1. Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , xi)}$ sonra ${ displaystyle mX + b sim { textrm {GEV}} (m mu + b, , m sigma, , xi)}$
2. Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {Gumbel}} ( mu, , sigma)}$ (Gumbel dağılımı ) sonra ${ displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
3. Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$ (Weibull dağılımı ) sonra ${ displaystyle mu sol (1- sigma mathrm {log} { tfrac {X} { sigma}} sağ) sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
4. Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$ sonra ${ displaystyle sigma exp (- { tfrac {X- mu} { mu sigma}}) sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$ (Weibull dağılımı )
5. Eğer ${ displaystyle X sim { textrm {Üstel}} (1) ,}$ (Üstel dağılım ) sonra ${ displaystyle mu - sigma log {X} sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$
6. Eğer ${ displaystyle X sim mathrm {Gumbel} ( alpha _ {X}, beta)}$ ve ${ displaystyle Y sim mathrm {Gumbel} ( alpha _ {Y}, beta)}$ sonra ${ displaystyle X-Y sim mathrm {Lojistik} ( alpha _ {X} - alpha _ {Y}, beta) ,}$ (görmek Logistic_distribution ).
7. Eğer ${ displaystyle X}$ ve ${ displaystyle Y sim mathrm {Gumbel} ( alpha, beta)}$ sonra ${ displaystyle X + Y nsim mathrm {Lojistik} (2 alpha, beta) ,}$ (Toplam değil lojistik dağıtım). Bunu not et ${ Displaystyle E (X + Y) = 2 alpha +2 beta gamma neq 2 alpha = E sol ( mathrm {Lojistik} (2 alpha, beta) sağ)}$.

Kanıtlar

4. Bırak ${ displaystyle X sim { textrm {Weibull}} ( sigma, , mu)}$, ardından kümülatif dağılımı ${ displaystyle g (x) = mu sol (1- sigma mathrm {log} { frac {X} { sigma}} sağ)}$ dır-dir:

${ displaystyle { başlar {hizalı} P ( mu sol (1- sigma log { frac {X} { sigma}} sağ)$

için cdf hangisi ${ displaystyle sim { textrm {GEV}} ( mu, , sigma, , 0)}$.

5. Bırak ${ displaystyle X sim { textrm {Üstel}} (1)}$, ardından kümülatif dağılımı ${ displaystyle g (X) = mu - sigma log {X}}$ dır-dir:

${ displaystyle { başlar {hizalı} P ( mu - sigma log {X}$

kümülatif dağılımı olan ${ displaystyle { textrm {GEV}} ( mu, sigma, 0)}$.

Ayrıca bakınız

• Aşırı Değer Teorisi (Tek Değişkenli Teori)
• Fisher – Tippett – Gnedenko teoremi
• Genelleştirilmiş Pareto dağılımı
• Alman tankı sorunu, maksimum verilen örnek maksimum popülasyonun tersi soru
• Pickands-Balkema – de Haan teoremi

Referanslar

daha fazla okuma

• Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia; Mikosch, Thomas (1997). Sigorta ve finans için aşırı olayların modellenmesi. Berlin: Springer Verlag. ISBN  9783540609315.
• Leadbetter, M.R., Lindgren, G. ve Rootzén, H. (1983). Rastgele dizilerin ve süreçlerin aşırılıkları ve ilgili özellikleri. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90731-9.CS1 bakimi: birden çok ad: yazarlar listesi (bağlantı)
• Resnick, S.I. (1987). Uç değerler, düzenli değişim ve nokta süreçleri. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96481-9.
• Coles, Stuart (2001). Uç Değerlerin İstatistiksel Modellemesine Giriş. Springer-Verlag. ISBN  1-85233-459-2.