Genelleştirilmiş Pareto dağılımı - Generalized Pareto distribution

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Genelleştirilmiş Pareto dağılımı"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Mart 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Genelleştirilmiş Pareto dağılımı

Olasılık yoğunluk işlevi GPD dağıtım işlevleri ${ displaystyle mu = 0}$ ve farklı değerler ${ displaystyle sigma}$ ve ${ displaystyle xi}$
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${ displaystyle mu in (- infty, infty) ,}$ yer (gerçek ) ${ displaystyle sigma (0, infty) ,}$ ölçek (gerçek) ${ displaystyle xi in (- infty, infty) ,}$ şekil (gerçek)
Destek	${ displaystyle x geqslant mu , ; ( xi geqslant 0)}$ ${ displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi , ; ( xi <0)}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma}} (1+ xi z) ^ {- (1 / xi +1)}}$ nerede ${ displaystyle z = { frac {x- mu} { sigma}}}$
CDF	${ displaystyle 1- (1+ xi z) ^ {- 1 / xi} ,}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle mu + { frac { sigma} {1- xi}} , ; ( xi <1)}$
Medyan	${ displaystyle mu + { frac { sigma (2 ^ { xi} -1)} { xi}}}$
Mod
Varyans	${ displaystyle { frac { sigma ^ {2}} {(1- xi) ^ {2} (1-2 xi)}} , ; ( xi <1/2)}$
Çarpıklık	${ displaystyle { frac {2 (1+ xi) { sqrt {1-2 xi}}} {(1-3 xi)}} , ; ( xi <1/3)}$
Örn. Basıklık	${ displaystyle { frac {3 (1-2 xi) (2 xi ^ {2} + xi +3)} {(1-3 xi) (1-4 xi)}} - 3 , ; ( xi <1/4)}$
Entropi	${ displaystyle günlük ( sigma) + xi +1}$
MGF	${ displaystyle e ^ { theta mu} , sum _ {j = 0} ^ { infty} sol [{ frac {( theta sigma) ^ {j}} { prod _ {k = 0} ^ {j} (1-k xi)}} sağ], ; (k xi <1)}$
CF	${ displaystyle e ^ {it mu} , sum _ {j = 0} ^ { infty} sol [{ frac {(it sigma) ^ {j}} { prod _ {k = 0 } ^ {j} (1-k xi)}} sağ], ; (k xi <1)}$
Moment Yöntemi	${ displaystyle xi = { frac {1} {2}} sol (1 - { frac {(E [X] - mu) ^ {2}} {V [X]}} sağ)}$ ${ displaystyle sigma = (E [X] - mu) (1- xi)}$

İçinde İstatistik, genelleştirilmiş Pareto dağılımı (GPD) bir sürekli olasılık dağılımları. Genellikle başka bir dağılımın kuyruklarını modellemek için kullanılır. Üç parametre ile belirtilir: konum ${ displaystyle mu}$, ölçek ${ displaystyle sigma}$ve şekil ${ displaystyle xi}$.^[1][2] Bazen sadece ölçek ve şekil ile belirtilir^[3] ve bazen sadece şekil parametresiyle. Bazı referanslar şekil parametresini şu şekilde verir: ${ displaystyle kappa = - xi ,}$.^[4]

Tanım

GPD'nin standart kümülatif dağılım işlevi (cdf) şu şekilde tanımlanır:^[5]

${ displaystyle F _ { xi} (z) = { başlar {vakalar} 1- sol (1+ xi z sağ) ^ {- 1 / xi} ve { text {for}} xi neq 0, 1-e ^ {- z} & { text {for}} xi = 0. end {vakalar}}}$

destek nerede ${ displaystyle z geq 0}$ için ${ displaystyle xi geq 0}$ ve ${ displaystyle 0 leq z leq -1 / xi}$ için ${ displaystyle xi <0}$. Karşılık gelen olasılık yoğunluk işlevi (pdf)

${ displaystyle f _ { xi} (z) = { begin {case} (1+ xi z) ^ {- { frac { xi +1} { xi}}} ve { text {for} } xi neq 0, e ^ {- z} & { text {for}} xi = 0. end {vakalar}}}$

Karakterizasyon

İlgili konum-ölçek dağılım ailesi, argüman değiştirilerek elde edilir. z tarafından ${ displaystyle { frac {x- mu} { sigma}}}$ ve desteğin buna göre ayarlanması.

kümülatif dağılım fonksiyonu nın-nin ${ displaystyle X sim GPD ( mu, sigma, xi)}$ (${ displaystyle mu in mathbb {R}}$, ${ displaystyle sigma> 0}$, ve ${ displaystyle xi in mathbb {R}}$) dır-dir

${ displaystyle F _ {( mu, sigma, xi)} (x) = { başlar {vakalar} 1- sol (1 + { frac { xi (x- mu)} { sigma} } sağ) ^ {- 1 / xi} & { text {for}} xi neq 0, 1- exp left (- { frac {x- mu} { sigma}} sağ) & { text {for}} xi = 0, end {vakalar}}}$

desteği nerede ${ displaystyle X}$ dır-dir ${ displaystyle x geqslant mu}$ ne zaman ${ displaystyle xi geqslant 0 ,}$, ve ${ displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi}$ ne zaman ${ displaystyle xi <0}$.

olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf) / ${ displaystyle X sim GPD ( mu, sigma, xi)}$ dır-dir

${ displaystyle f _ {( mu, sigma, xi)} (x) = { frac {1} { sigma}} sol (1 + { frac { xi (x- mu)} { sigma}} sağ) ^ { sol (- { frac {1} { xi}} - 1 sağ)}}$,

yine için ${ displaystyle x geqslant mu}$ ne zaman ${ displaystyle xi geqslant 0}$, ve ${ displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi}$ ne zaman ${ displaystyle xi <0}$.

Pdf aşağıdakilerin bir çözümüdür diferansiyel denklem:^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle sol {{ başlar {dizi} {l} f '(x) (- mu xi + sigma + xi x) + ( xi +1) f (x) = 0, f (0) = { frac { left (1 - { frac { mu xi} { sigma}} sağ) ^ {- { frac {1} { xi}} - 1}} { sigma}} end {dizi}} sağ }}$

Özel durumlar

• Şekli ise ${ displaystyle xi}$ ve konum ${ displaystyle mu}$ her ikisi de sıfırsa, GPD eşittir üstel dağılım.
• Şekli ile ${ displaystyle xi> 0}$ ve konum ${ displaystyle mu = sigma / xi}$GPD, şuna eşdeğerdir: Pareto dağılımı ölçekli ${ displaystyle x_ {m} = sigma / xi}$ ve şekil ${ displaystyle alpha = 1 / xi}$.
• Eğer ${ displaystyle X}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle GPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle mu = 0}$, ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$, sonra ${ displaystyle Y = log (X) sim exGPD ( sigma, xi)}$ [1]. (exGPD, üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı.)
• GPD şuna benzer: Çapak dağılımı.

Genelleştirilmiş Pareto rasgele değişkenler oluşturma

GPD rastgele değişkenler oluşturma

Eğer U dır-dir düzgün dağılmış açık (0, 1], sonra

${ displaystyle X = mu + { frac { sigma (U ^ {- xi} -1)} { xi}} sim GPD ( mu, sigma, xi neq 0)}$

ve

${ displaystyle X = mu - sigma ln (U) sim GPD ( mu, sigma, xi = 0).}$

Her iki formül de cdf'nin ters çevrilmesiyle elde edilir.

Matlab Statistics Toolbox'ta, genelleştirilmiş Pareto rasgele sayılar oluşturmak için kolayca "gprnd" komutunu kullanabilirsiniz.

Üstel Gama Karışımı Olarak GPD

Bir GPD rastgele değişkeni, bir Gama dağıtılmış oran parametresiyle üssel bir rastgele değişken olarak da ifade edilebilir.

${ displaystyle X | Lambda sim Exp ( Lambda)}$

ve

${ displaystyle Lambda sim Gama ( alpha, beta)}$

sonra

${ displaystyle X sim GPD ( xi = 1 / alpha, sigma = beta / alpha)}$

Bununla birlikte, Gama dağılımı için parametrelerin sıfırdan büyük olması gerektiğinden, aşağıdaki ek kısıtlamaları elde ettiğimize dikkat edin:${ displaystyle xi}$ pozitif olmalı.

Üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı

Üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı (exGPD)

PDF dosyası ${ displaystyle exGPD ( sigma, xi)}$ farklı değerler için (üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı) ${ displaystyle sigma}$ ve ${ displaystyle xi}$.

Eğer ${ displaystyle X sim GPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle mu = 0}$, ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$, sonra ${ displaystyle Y = log (X)}$ göre dağıtılır üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı ile gösterilir ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$.

olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf) / ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle) , , ( sigma> 0)}$ dır-dir

${ displaystyle g _ {( sigma, xi)} (y) = { başla {vakalar} { frac {e ^ {y}} { sigma}} { bigg (} 1 + { frac { xi e ^ {y}} { sigma}} { bigg)} ^ {- 1 / xi -1} , , , , { text {for}} xi neq 0, { frac {1} { sigma}} e ^ {siz ^ {y} / sigma} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi = 0, {case}}} sonlandır$

destek nerede ${ displaystyle - infty$ için ${ displaystyle xi geq 0}$, ve ${ displaystyle - infty$ için ${ displaystyle xi <0}$.

Hepsi için ${ displaystyle xi}$, ${ displaystyle log sigma}$ konum parametresi olur. Şekil göründüğünde pdf için sağ panele bakın. ${ displaystyle xi}$ olumlu.

exGPD tümü için tüm siparişlerin sonlu anlarına sahiptir ${ displaystyle sigma> 0}$ ve ${ displaystyle - infty < xi < infty}$.

varyans of ${ displaystyle exGPD ( sigma, xi)}$ bir fonksiyonu olarak ${ displaystyle xi}$. Varyansın yalnızca şunlara bağlı olduğunu unutmayın: ${ displaystyle xi}$. Kırmızı noktalı çizgi, şu anda değerlendirilen varyansı temsil eder ${ displaystyle xi = 0}$, yani, ${ displaystyle psi ^ {'} (1) = pi ^ {2} / 6}$.

an üreten işlev nın-nin ${ displaystyle Y sim exGPD ( sigma, xi)}$ dır-dir

${ displaystyle M_ {Y} (s) = E [e ^ {sY}] = { başlar {vakalar} - { frac {1} { xi}} { bigg (} - { frac { sigma } { xi}} { bigg)} ^ {s} B (s + 1, -1 / xi) , , , , , , , , , , , , { text {for}} s in (-1, infty), xi <0, { frac {1} { xi}} { bigg (} { frac { sigma} { xi}} { bigg)} ^ {s} B (s + 1,1 / xi -s) , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} s in (-1,1 / xi), xi> 0, sigma ^ {s} Gama (1 + s) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} s in (-1, infty), xi = 0, end {case}}}$

nerede ${ displaystyle B (a, b)}$ ve ${ displaystyle Gama (a)}$ belirtmek beta işlevi ve gama işlevi, sırasıyla.

beklenen değer nın-nin ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$ ölçeğe bağlıdır ${ displaystyle sigma}$ ve şekil ${ displaystyle xi}$ parametreler, ${ displaystyle xi}$ aracılığıyla katılır digamma işlevi:

${ displaystyle E [Y] = { {vakalar} log { bigg (} - { frac { sigma} { xi}} { bigg)} + psi (1) - psi ( -1 / xi +1) , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi <0, log { bigg (} { frac { sigma} { xi}} { bigg)} + psi (1) - psi (1 / xi) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi> 0, log sigma + psi (1) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi = 0. end {vakalar}}}$

Unutmayın ki sabit bir değer için ${ displaystyle xi içinde (- infty, infty)}$, ${ displaystyle log sigma}$ üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı altında konum parametresi olarak oynar.

varyans nın-nin ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$ şekil parametresine bağlıdır ${ displaystyle xi}$ sadece aracılığıyla poligamma işlevi 1. sıranın (aynı zamanda trigamma işlevi ):

${ displaystyle Var [Y] = { {vakalar} psi ^ {'} (1) - psi ^ {'} (- 1 / xi +1) , , , , , başlar , , , , , , , , { text {for}} xi <0, psi ^ {'} (1) + psi ^ {'} (1 / xi ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi> 0, psi ^ {'} (1) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {for}} xi = 0. end {vakalar}}}$

Varyansın bir fonksiyonu olarak sağdaki panele bakın. ${ displaystyle xi}$. Bunu not et ${ displaystyle psi ^ {'} (1) = pi ^ {2} / 6 yaklaşık 1.644934}$.

Ölçek parametresinin rollerinin ${ displaystyle sigma}$ ve şekil parametresi ${ displaystyle xi}$ altında ${ displaystyle Y sim exGPD ( sigma, xi)}$ ayrılabilir şekilde yorumlanabilir, bu da aşağıdakiler için sağlam ve verimli bir tahmine yol açabilir ${ displaystyle xi}$ kullanmaktan ${ displaystyle X sim GPD ( sigma, xi)}$ [2]. İki parametrenin rolleri birbiriyle ilişkilendirilir. ${ displaystyle X sim GPD ( mu = 0, sigma, xi)}$ (en azından ikinci merkezi ana kadar); varyans formülüne bakın ${ displaystyle Var (X)}$ burada her iki parametre de katılır.

Hill's tahmincisi

Varsayalım ki ${ displaystyle X_ {1: n} = (X_ {1}, cdots, X_ {n})}$ vardır ${ displaystyle n}$ bilinmeyen bir kaynaktan gelen gözlemler (i.i.d. olması gerekmez) ağır kuyruklu dağılım ${ displaystyle F}$ öyle ki kuyruk dağılımı, kuyruk indeksine göre düzenli olarak değişiyor ${ displaystyle 1 / xi}$ (bu nedenle, ilgili şekil parametresi ${ displaystyle xi}$). Spesifik olmak gerekirse, kuyruk dağılımı şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle { bar {F}} (x) = 1-F (x) = L (x) cdot x ^ {- 1 / xi}, , , , , , { text {bazıları için}} xi> 0, , , { text {burada}} L { text {yavaş değişen bir işlevdir.}}}$

Özel bir ilgi alanı aşırı değer teorisi şekil parametresini tahmin etmek için ${ displaystyle xi}$, özellikle ne zaman ${ displaystyle xi}$ pozitiftir (buna ağır kuyruklu dağılım denir).

İzin Vermek ${ displaystyle F_ {u}}$ koşullu fazla dağıtım işlevi olabilir. Pickands-Balkema – de Haan teoremi (Pickands, 1975; Balkema ve de Haan, 1974) büyük bir altta yatan dağıtım fonksiyonları sınıfı için ${ displaystyle F}$ve büyük ${ displaystyle u}$, ${ displaystyle F_ {u}}$ Peak Over Threshold (POT) yöntemlerini tahmin etmeye motive eden genelleştirilmiş Pareto dağılımı (GPD) ile iyi bir şekilde ${ displaystyle xi}$: GPD, POT yaklaşımında kilit rol oynar.

POT metodolojisini kullanan tanınmış bir tahminci, Hill's tahmincisi. Hill's tahmincisinin teknik formülasyonu aşağıdaki gibidir. İçin ${ displaystyle 1 leq i leq n}$, yazmak ${ displaystyle X _ {(i)}}$ için ${ displaystyle i}$en büyük değeri ${ displaystyle X_ {1}, cdots, X_ {n}}$. Sonra, bu gösterimle, Hill's tahmincisi (Embrechts ve diğerleri tarafından hazırlanan Referans 5'in 190. sayfasına bakın. [3] ) göre ${ displaystyle k}$ üst sıra istatistikler şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} = { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} (X_ {1: n }) = { frac {1} {k-1}} sum _ {j = 1} ^ {k-1} log { bigg (} { frac {X _ {(j)}} {X_ { (k)}}} { bigg)}, , , , , , , , , { text {for}} 2 leq k leq n.}$

Pratikte, Hill tahmincisi aşağıdaki şekilde kullanılır. İlk önce tahmin ediciyi hesaplayın ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}}$ her tamsayıda ${ displaystyle k in {2, cdots, n }}$ve sonra sıralı çiftleri çizin ${ displaystyle {(k, { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}) } _ {k = 2} ^ {n}}$. Ardından, Hill tahmin edicilerinden seçim yapın ${ displaystyle {{ widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} } _ {k = 2} ^ {n}}$ göre kabaca sabit olan ${ displaystyle k}$: bu kararlı değerler, şekil parametresi için makul tahminler olarak kabul edilir ${ displaystyle xi}$. Eğer ${ displaystyle X_ {1}, cdots, X_ {n}}$ i.i.d. ise Hill's tahmincisi şekil parametresi için tutarlı bir tahmincidir ${ displaystyle xi}$ [4].

Unutmayın ki Tepe tahmincisi ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}}$ gözlemler için log dönüşümünü kullanır ${ displaystyle X_ {1: n} = (X_ {1}, cdots, X_ {n})}$. (The Pickand'ın tahmincisi ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Seçim}}}$ log dönüşümünü de kullandı, ancak biraz farklı bir şekilde[5].)

Ayrıca bakınız

• Çapak dağılımı
• Pareto dağılımı
• Genelleştirilmiş aşırı değer dağılımı
• Üslü genelleştirilmiş Pareto dağılımı
• Pickands-Balkema – de Haan teoremi

Referanslar

daha fazla okuma

• Pickands James (1975). "Aşırı sıra istatistiklerini kullanarak istatistiksel çıkarım". İstatistik Yıllıkları. 3 s: 119–131. doi:10.1214 / aos / 1176343003.
• Balkema, A .; De Haan, Laurens (1974). "Büyük yaşta kalan yaşam süresi". Olasılık Yıllıkları. 2 (5): 792–804. doi:10.1214 / aop / 1176996548.
• Lee, Seyoon; Kim, J.H.K. (2018). "Üstelleştirilmiş genelleştirilmiş Pareto dağılımı: Özellikler ve aşırı değer teorisine yönelik uygulamalar". İstatistikte İletişim - Teori ve Yöntemler. 0 (8): 1–25. arXiv:1708.01686. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. S2CID  88514574.
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Sürekli Tek Değişkenli Dağılımlar Cilt 1, ikinci baskı. New York: Wiley. ISBN  978-0-471-58495-7. Bölüm 20, Kısım 12: Genelleştirilmiş Pareto Dağılımları.
• Barry C. Arnold (2011). "Bölüm 7: Pareto ve Genelleştirilmiş Pareto Dağılımları". Duangkamon Chotikapanich'de (ed.). Dağılımları ve Lorenz Eğrilerini Modelleme. New York: Springer. ISBN  9780387727967.
• Arnold, B. C .; Laguna, L. (1977). Gelir verilerine uygulamalarla genelleştirilmiş Pareto dağılımları hakkında. Ames, Iowa: Iowa Eyalet Üniversitesi, Ekonomi Bölümü.

Dış bağlantılar

• Mathworks: Genelleştirilmiş Pareto dağılımı