İçinde İstatistik , Özellikle de hipotez testi , Otelcilik T -squared dağılımı (T 2 Harold Hotelling ,[1] çok değişkenli olasılık dağılımı ile yakından ilgili F -dağıtımörnek istatistikler temelde yatan istatistiklerin doğal genellemeleridir. Öğrenci t -dağıtım .
Otelcilik t karesel istatistik (t 2 Öğrenci t istatistik kullanılan çok değişkenli hipotez testi .[2]
Dağıtım Motivasyon Dağılım ortaya çıkar çok değişkenli istatistikler taahhütte testler farklı popülasyonların (çok değişkenli) araçları arasındaki farkların, tek değişkenli problemler için testlerin bir t -ÖlçekHarold Hotelling , bunu Öğrenci'nin bir genellemesi olarak geliştiren t -dağıtım.[1]
Tanım Vektör d { displaystyle d} Gauss çok değişkenli dağıtılmış sıfır ortalama ve birim ile kovaryans matrisi N ( 0 p , ben p , p ) { displaystyle N ( mathbf {0} _ {p}, mathbf {I} _ {p, p})} M { displaystyle M} p × p { displaystyle p kere p} ölçek matrisi ve m özgürlük derecesi Birlikte Wishart dağıtımı W ( ben p , p , m ) { displaystyle W ( mathbf {I} _ {p, p}, m)} İkinci dereceden form m d T M − 1 d { displaystyle md ^ {T} M ^ {- 1} d} T 2 ( p , m ) { displaystyle T ^ {2} (p, m)} p { displaystyle p} m { displaystyle m} [3]
Rastgele bir değişken ise X Hotelling'in T -kareli dağılım, X ∼ T p , m 2 { displaystyle X sim T_ {p, m} ^ {2}} [1]
m − p + 1 p m X ∼ F p , m − p + 1 { displaystyle { frac {m-p + 1} {pm}} X sim F_ {p, m-p + 1}} nerede F p , m − p + 1 { displaystyle F_ {p, m-p + 1}} F -dağıtımp ve m − p + 1 .
Hotelling t-kare istatistiği İzin Vermek Σ ^ { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}}} örnek kovaryans :
Σ ^ = 1 n − 1 ∑ ben = 1 n ( x ben − x ¯ ) ( x ben − x ¯ ) ′ { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}} = { frac {1} {n-1}} toplam _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {x} _ {i} - { overline { mathbf {x}}}) ( mathbf {x} _ {i} - { overline { mathbf {x}}}) '} gösterdiğimiz yer değiştirmek tarafından kesme işareti . Gösterilebilir ki Σ ^ { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}}} pozitif (yarı) kesin matris ve ( n − 1 ) Σ ^ { displaystyle (n-1) { hat { mathbf { Sigma}}}} p değişken Wishart dağıtımı ile n −1 serbestlik derecesi.[4] Σ ^ x ¯ = Σ ^ / n { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}} _ { overline { mathbf {x}}} = { hat { mathbf { Sigma}}} / n} [açıklama gerekli
Otelcilik t karesel istatistik daha sonra şu şekilde tanımlanır:[5]
t 2 = ( x ¯ − μ ) ′ Σ ^ x ¯ − 1 ( x ¯ − μ ) , { displaystyle t ^ {2} = ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '{ hat { mathbf { Sigma}}} _ { overline { mathbf {x}}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}}),} orantılı olan mesafe örnek ortalama ile μ { displaystyle { boldsymbol { mu}}} x ¯ ≅ μ { displaystyle { overline { mathbf {x}}} cong { boldsymbol { mu}}}
İtibaren dağıtım ,
t 2 ∼ T p , n − 1 2 = p ( n − 1 ) n − p F p , n − p , { displaystyle t ^ {2} sim T_ {p, n-1} ^ {2} = { frac {p (n-1)} {n-p}} F_ {p, n-p},} nerede F p , n − p { displaystyle F_ {p, n-p}} F -dağıtımp ve n − p . Hesaplamak için p -değerp değişken burada), dağılımının t 2 { displaystyle t ^ {2}}
n − p p ( n − 1 ) t 2 ∼ F p , n − p . { displaystyle { frac {n-p} {p (n-1)}} t ^ {2} sim F_ {p, n-p}.} Ardından, sol taraftaki miktarı değerlendirmek için kullanın. p - numuneye karşılık gelen değer, F -dağıtım. Bir güven bölgesi benzer mantık kullanılarak da belirlenebilir.
Motivasyon İzin Vermek N p ( μ , Σ ) { displaystyle { mathcal {N}} _ {p} ({ boldsymbol { mu}}, { mathbf { Sigma}})} p değişken normal dağılımyer μ { displaystyle { boldsymbol { mu}}} kovaryans Σ { displaystyle { mathbf { Sigma}}}
x 1 , … , x n ∼ N p ( μ , Σ ) { displaystyle { mathbf {x}} _ {1}, dots, { mathbf {x}} _ {n} sim { mathcal {N}} _ {p} ({ boldsymbol { mu} }, { mathbf { Sigma}})} olmak n bağımsız aynı şekilde dağıtılmış (iid) rastgele değişkenler olarak temsil edilebilir p × 1 { displaystyle p times 1}
x ¯ = x 1 + ⋯ + x n n { displaystyle { overline { mathbf {x}}} = { frac { mathbf {x} _ {1} + cdots + mathbf {x} _ {n}} {n}}} olmak örnek anlamı kovaryans ile Σ x ¯ = Σ / n { displaystyle { mathbf { Sigma}} _ { bar { mathbf {x}}} = { mathbf { Sigma}} / n}
( x ¯ − μ ) ′ Σ x ¯ − 1 ( x ¯ − μ ) ∼ χ p 2 , { displaystyle ({ bar { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '{ mathbf { Sigma}} _ { bar { mathbf {x}}} ^ {- 1 } ({ bar { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}}) sim chi _ {p} ^ {2},} nerede χ p 2 { displaystyle chi _ {p} ^ {2}} ki-kare dağılımı ile p özgürlük derecesi.[6]
Kanıt —
Bunu göstermek için şu gerçeği kullanın x ¯ ∼ N p ( μ , Σ / n ) { displaystyle { overline { mathbf {x}}} sim { mathcal {N}} _ {p} ({ boldsymbol { mu}}, { mathbf { Sigma}} / n)} karakteristik fonksiyon rastgele değişkenin y = ( x ¯ − μ ) ′ Σ x ¯ − 1 ( x ¯ − μ ) = ( x ¯ − μ ) ′ ( Σ / n ) − 1 ( x ¯ − μ ) { displaystyle mathbf {y} = ({ bar { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '{ mathbf { Sigma}} _ { bar { mathbf {x} }} ^ {- 1} ({ bar { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}}) = ({ bar { mathbf {x}}} - { kalın sembol { mu}}) '({ mathbf { Sigma}} / n) ^ {- 1} ({ bar { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}}) } | ⋅ | { displaystyle | cdot |} belirleyici tartışmanın, olduğu gibi | Σ | { displaystyle | { kalın sembol { Sigma}} |}
Karakteristik fonksiyonun tanımına göre, elimizde:[7]
φ y ( θ ) = E e ben θ y , = E e ben θ ( x ¯ − μ ) ′ ( Σ / n ) − 1 ( x ¯ − μ ) = ∫ e ben θ ( x ¯ − μ ) ′ n Σ − 1 ( x ¯ − μ ) ( 2 π ) − p / 2 | Σ / n | − 1 / 2 e − ( 1 / 2 ) ( x ¯ − μ ) ′ n Σ − 1 ( x ¯ − μ ) d x 1 ⋯ d x p { displaystyle { begin {align} varphi _ { mathbf {y}} ( theta) & = operatorname {E} e ^ {i theta mathbf {y}}, [5pt] & = operatöradı {E} e ^ {i theta ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '({ mathbf { Sigma}} / n) ^ {- 1 } ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}})} [5pt] & = int e ^ {i theta ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) 'n { mathbf { Sigma}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}})} (2 pi) ^ {- p / 2} | { boldsymbol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} , e ^ {- (1/2) ( { overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) 'n { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}})} , dx_ {1} cdots dx_ {p} end {hizalı}}} İntegralin içinde iki üstel vardır, bu yüzden üstelleri çarparak üsleri toplayarak şunu elde ederiz:
= ∫ ( 2 π ) − p / 2 | Σ / n | − 1 / 2 e − ( 1 / 2 ) ( x ¯ − μ ) ′ n ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) ( x ¯ − μ ) d x 1 ⋯ d x p { displaystyle { başlar {hizalı} & = int (2 pi) ^ {- p / 2} | { kalın sembol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} , e ^ {- (1/2) ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) 'n ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}})} , dx_ {1} cdots dx_ {p} end {hizalı }}} Şimdi terimi al | Σ / n | − 1 / 2 { displaystyle | { kalın sembol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2}} ben = | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 / n | 1 / 2 ⋅ | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 / n | − 1 / 2 { displaystyle I = | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n | ^ {1 / 2} ; cdot ; | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n | ^ {-1/2}}
= | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 / n | 1 / 2 | Σ / n | − 1 / 2 ∫ ( 2 π ) − p / 2 | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 / n | − 1 / 2 e − ( 1 / 2 ) n ( x ¯ − μ ) ′ ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) ( x ¯ − μ ) d x 1 ⋯ d x p { displaystyle { başlar {hizalı} & = | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n | ^ {1/2} | { kalın sembol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} int (2 pi) ^ {- p / 2} | ({ kalın sembol { Sigma} } ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n | ^ {- 1/2} , e ^ {- (1/2) n ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}})} , dx_ {1} cdots dx_ {p} end {hizalı}}} Ancak integralin içindeki terim tam olarak bir olasılık yoğunluğu fonksiyonudur. çok değişkenli normal dağılım kovaryans matrisi ile ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 / n = [ n ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) ] − 1 { displaystyle ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n = sol [n ({ kalın sembol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) sağ] ^ {- 1}} μ { displaystyle mu} x 1 , … , x p { displaystyle x_ {1}, noktalar, x_ {p}} 1 { displaystyle 1} olasılık aksiyomları .[açıklama gerekli Böylece şunu elde ederiz:
= | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 ⋅ 1 n | 1 / 2 | Σ / n | − 1 / 2 = | ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) − 1 ⋅ 1 n ⋅ n ⋅ Σ − 1 | 1 / 2 = | [ ( Σ − 1 − 2 ben θ Σ − 1 ) Σ ] − 1 | 1 / 2 = | ben p − 2 ben θ ben p | − 1 / 2 { displaystyle { başlar {hizalı} & = sol | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { kalın sembol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1 } cdot { frac {1} {n}} right | ^ {1/2} | { boldsymbol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} & = left | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} cdot { frac {1} { iptal {n}} } cdot { iptal {n}} cdot { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} right | ^ {1/2} & = left | left [({ iptal {{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}}} - 2i theta { cancel {{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}}}) { cancel { boldsymbol { Sigma}}} sağ] ^ {- 1} sağ | ^ {1/2} & = | mathbf {I} _ {p} -2i theta mathbf {I} _ {p} | ^ {- 1 / 2} end {hizalı}}} nerede ben p { displaystyle I_ {p}} p { displaystyle p}
= ( 1 − 2 ben θ ) − p / 2 { displaystyle { başlar {hizalı} & = (1-2i theta) ^ {- p / 2} uç {hizalı}}} bir için karakteristik fonksiyon olan ki-kare dağılımı ile p { displaystyle p} ◼ { displaystyle ; ; ; blacksquare}
İki örnekli istatistik Eğer x 1 , … , x n x ∼ N p ( μ , V ) { displaystyle { mathbf {x}} _ {1}, dots, { mathbf {x}} _ {n_ {x}} sim N_ {p} ({ boldsymbol { mu}}, { mathbf {V}})} y 1 , … , y n y ∼ N p ( μ , V ) { displaystyle { mathbf {y}} _ {1}, dots, { mathbf {y}} _ {n_ {y}} sim N_ {p} ({ boldsymbol { mu}}, { mathbf {V}})} bağımsız ikiden çizilmiş bağımsız çok değişkenli normal dağılımlar aynı ortalama ve kovaryans ile ve
x ¯ = 1 n x ∑ ben = 1 n x x ben y ¯ = 1 n y ∑ ben = 1 n y y ben { displaystyle { overline { mathbf {x}}} = { frac {1} {n_ {x}}} sum _ {i = 1} ^ {n_ {x}} mathbf {x} _ { i} qquad { overline { mathbf {y}}} = { frac {1} {n_ {y}}} sum _ {i = 1} ^ {n_ {y}} mathbf {y} _ {ben}} örnek anlamı olarak ve
Σ ^ x = 1 n x − 1 ∑ ben = 1 n x ( x ben − x ¯ ) ( x ben − x ¯ ) ′ { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}} _ { mathbf {x}} = { frac {1} {n_ {x} -1}} sum _ {i = 1} ^ {n_ {x}} ( mathbf {x} _ {i} - { overline { mathbf {x}}}) ( mathbf {x} _ {i} - { overline { mathbf {x}}}) '} Σ ^ y = 1 n y − 1 ∑ ben = 1 n y ( y ben − y ¯ ) ( y ben − y ¯ ) ′ { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}} _ { mathbf {y}} = { frac {1} {n_ {y} -1}} sum _ {i = 1} ^ {n_ {y}} ( mathbf {y} _ {i} - { overline { mathbf {y}}}) ( mathbf {y} _ {i} - { overline { mathbf {y}}}) '} ilgili örnek kovaryans matrisleri olarak. Sonra
Σ ^ = ( n x − 1 ) Σ ^ x + ( n y − 1 ) Σ ^ y n x + n y − 2 { displaystyle { hat { mathbf { Sigma}}} = { frac {(n_ {x} -1) { hat { mathbf { Sigma}}} _ { mathbf {x}} + ( n_ {y} -1) { hat { mathbf { Sigma}}} _ { mathbf {y}}} {n_ {x} + n_ {y} -2}}} tarafsız mı havuzlanmış kovaryans matrisi tahmin (bir uzantısı havuzlanmış varyans ).
Son olarak Hotelling'in iki örneği t karesel istatistik dır-dir
t 2 = n x n y n x + n y ( x ¯ − y ¯ ) ′ Σ ^ − 1 ( x ¯ − y ¯ ) ∼ T 2 ( p , n x + n y − 2 ) { displaystyle t ^ {2} = { frac {n_ {x} n_ {y}} {n_ {x} + n_ {y}}} ({ overline { mathbf {x}}} - { overline { mathbf {y}}}) '{ hat { mathbf { Sigma}}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { overline { mathbf {y}} }) sim T ^ {2} (p, n_ {x} + n_ {y} -2)} Ilgili kavramlar F dağılımı ile şu şekilde ilişkilendirilebilir:[4]
n x + n y − p − 1 ( n x + n y − 2 ) p t 2 ∼ F ( p , n x + n y − 1 − p ) . { displaystyle { frac {n_ {x} + n_ {y} -p-1} {(n_ {x} + n_ {y} -2) p}} t ^ {2} sim F (p, n_ {x} + n_ {y} -1-p).} Bu istatistiğin boş olmayan dağılımı, merkezi olmayan F dağılımı (bir oranı merkez dışı Ki-kare rastgele değişken ve bağımsız bir merkez Ki-kare rastgele değişken)
n x + n y − p − 1 ( n x + n y − 2 ) p t 2 ∼ F ( p , n x + n y − 1 − p ; δ ) , { displaystyle { frac {n_ {x} + n_ {y} -p-1} {(n_ {x} + n_ {y} -2) p}} t ^ {2} sim F (p, n_ {x} + n_ {y} -1-p; delta),} ile
δ = n x n y n x + n y ν ′ V − 1 ν , { displaystyle delta = { frac {n_ {x} n_ {y}} {n_ {x} + n_ {y}}} { boldsymbol { nu}} ' mathbf {V} ^ {- 1} { kalın sembol { nu}},} nerede ν = x ¯ − y ¯ { displaystyle { boldsymbol { nu}} = mathbf {{ overline {x}} - { overline {y}}}}
İki değişkenli durumda, formül, korelasyonun nasıl değerlendirileceğini güzel bir şekilde basitleştirir, ρ { displaystyle rho} t 2 { displaystyle t ^ {2}}
d 1 = x ¯ 1 − y ¯ 1 , d 2 = x ¯ 2 − y ¯ 2 { displaystyle d_ {1} = { overline {x}} _ {1} - { overline {y}} _ {1}, qquad d_ {2} = { overline {x}} _ {2} - { overline {y}} _ {2}} ve
s 1 = W 11 s 2 = W 22 ρ = W 12 / ( s 1 s 2 ) = W 21 / ( s 1 s 2 ) { displaystyle s_ {1} = { sqrt {W_ {11}}} qquad s_ {2} = { sqrt {W_ {22}}} qquad rho = W_ {12} / (s_ {1} s_ {2}) = W_ {21} / (s_ {1} s_ {2})} sonra
t 2 = n x n y ( n x + n y ) ( 1 − r 2 ) [ ( d 1 s 1 ) 2 + ( d 2 s 2 ) 2 − 2 ρ ( d 1 s 1 ) ( d 2 s 2 ) ] { displaystyle t ^ {2} = { frac {n_ {x} n_ {y}} {(n_ {x} + n_ {y}) (1-r ^ {2})}} sol [ sol ({ frac {d_ {1}} {s_ {1}}} sağ) ^ {2} + left ({ frac {d_ {2}} {s_ {2}}} sağ) ^ {2 } -2 rho left ({ frac {d_ {1}} {s_ {1}}} right) left ({ frac {d_ {2}} {s_ {2}}} sağ) sağ]} Böylece, vektörün iki satırındaki farklılıklar ( x ¯ − y ¯ ) { displaystyle ({ overline { mathbf {x}}} - { overline { mathbf {y}}})} t 2 { displaystyle t ^ {2}} ρ { displaystyle rho} t 2 { displaystyle t ^ {2}} ρ { displaystyle rho}
Tek değişkenli bir özel durum şurada bulunabilir: Welch'in t testi .
Literatürde Hotelling'in iki örneklem testinden daha sağlam ve güçlü testler önerilmiştir, örneğin değişkenlerin sayısı deneklerin sayısı ile karşılaştırılabilir veya hatta daha büyük olduğunda da uygulanabilen ara nokta mesafesine dayalı testlere bakın.[8] [9]
Ayrıca bakınız Referanslar ^ a b c Hotelling, H. (1931). "Öğrenci oranının genelleştirilmesi" . Matematiksel İstatistik Yıllıkları 2 (3): 360–378. doi :10.1214 / aoms / 1177732979 ^ Johnson, R.A .; Wichern, D.W. (2002). Uygulamalı çok değişkenli istatistiksel analiz . 5 . Prentice salonu. ^ Eric W. Weisstein, MathWorld ^ a b Mardia, K. V .; Kent, J. T .; Bibby, J.M. (1979). Çok Değişkenli Analiz . Akademik Basın. ISBN 978-0-12-471250-8 ^ "6.5.4.3. Hotelling'in T kare " .^ Bölüm 4.2'nin sonu Johnson, R.A. & Wichern, D.W. (2002) ^ Billingsley, P. (1995). "26. Karakteristik Fonksiyonlar". Olasılık ve ölçü (3. baskı). Wiley. ISBN 978-0-471-00710-4 ^ Marozzi, M. (2016). "Manyetik rezonans görüntüleme uygulamasına sahip ara nokta mesafelerine dayalı çok değişkenli testler". Tıbbi Araştırmalarda İstatistiksel Yöntemler . 25 (6): 2593–2610. doi :10.1177/0962280214529104 . PMID 24740998 . ^ Marozzi, M. (2015). "Yüksek boyutlu, düşük örneklem büyüklüğüne sahip vaka kontrol çalışmaları için çok değişkenli çok mesafeli testler". Tıpta İstatistik . 34 (9): 1511–1526. doi :10.1002 / sim.6418 . PMID 25630579 . Dış bağlantılar Ayrık tek değişkenli Ayrık tek değişkenli Sürekli tek değişkenli Sürekli tek değişkenli Sürekli tek değişkenli Sürekli tek değişkenli Sürekli ayrık tek değişkenli karışık Çok değişkenli (ortak) Yönlü Dejenere ve tekil Aileler
![{ displaystyle { begin {align} varphi _ { mathbf {y}} ( theta) & = operatorname {E} e ^ {i theta mathbf {y}}, [5pt] & = operatöradı {E} e ^ {i theta ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) '({ mathbf { Sigma}} / n) ^ {- 1 } ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}})} [5pt] & = int e ^ {i theta ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) 'n { mathbf { Sigma}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mathbf { mu}}})} (2 pi) ^ {- p / 2} | { boldsymbol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} , e ^ {- (1/2) ( { overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}}) 'n { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ({ overline { mathbf {x}}} - { boldsymbol { mu}})} , dx_ {1} cdots dx_ {p} end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f7443b5a91e8899f181974528a7d34bf9e047a)
![{ displaystyle ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} / n = sol [n ({ kalın sembol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) sağ] ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e30acda26292ba3fcf5d6d302141d34fcebce5)
![{ displaystyle { başlar {hizalı} & = sol | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { kalın sembol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1 } cdot { frac {1} {n}} right | ^ {1/2} | { boldsymbol { Sigma}} / n | ^ {- 1/2} & = left | ({ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} -2i theta { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}) ^ {- 1} cdot { frac {1} { iptal {n}} } cdot { iptal {n}} cdot { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} right | ^ {1/2} & = left | left [({ iptal {{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}}} - 2i theta { cancel {{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1}}}) { cancel { boldsymbol { Sigma}}} sağ] ^ {- 1} sağ | ^ {1/2} & = | mathbf {I} _ {p} -2i theta mathbf {I} _ {p} | ^ {- 1 / 2} end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b99da9756cc4c6b0312d41367697e0aa53eaca)
![{ displaystyle t ^ {2} = { frac {n_ {x} n_ {y}} {(n_ {x} + n_ {y}) (1-r ^ {2})}} sol [ sol ({ frac {d_ {1}} {s_ {1}}} sağ) ^ {2} + left ({ frac {d_ {2}} {s_ {2}}} sağ) ^ {2 } -2 rho left ({ frac {d_ {1}} {s_ {1}}} right) left ({ frac {d_ {2}} {s_ {2}}} sağ) sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdef78058fb5071adade5aaa4362df16e1b3747b)
