Değişmiş Gompertz dağılımı - Shifted Gompertz distribution

Shifted Gompertz

Olasılık yoğunluk işlevi
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${displaystyle bgeq 0}$ ölçek (gerçek ) ${displaystyle eta geq 0}$ şekil (gerçek)
Destek	${displaystyle xin [0, infty)!}$
PDF	${displaystyle be ^ {- bx} e ^ {- eta e ^ {- bx}} sol [1 + eta sol (1-e ^ {- bx} ight) ight]}$
CDF	${displaystyle sol (1-e ^ {- bx} ight) e ^ {- eta e ^ {- bx}}}$
Anlamına gelmek	${displaystyle (-1 / b) {mathrm {E} [ln (X)] - ln (eta)},}$ nerede ${displaystyle X = eta e ^ {- bx},}$ ve ${displaystyle {egin {align} mathrm {E} [ln (X)] = & [1 {+} 1 / eta] !! int _ {0} ^ {eta} !!!! e ^ {- X} [ ln (X)] dX & - 1 / eta !! int _ {0} ^ {eta} !!!! Xe ^ {- X} [ln (X)] dXend {hizalı}}}$
Mod	${displaystyle 0 {ext {for}} 0$ ${displaystyle (-1 / b) ln (z ^ {yıldız}) {ext {, for}} eta> 0.5}$ ${displaystyle {ext {nerede}} z ^ {yıldız} = [3 + eta - (eta ^ {2} + 2eta +5) ^ {1/2}] / (2eta)}$
Varyans	${displaystyle (1 / b ^ {2}) (mathrm {E} {[ln (X)] ^ {2}} - (mathrm {E} [ln (X)]) ^ {2}),}$ nerede ${displaystyle X = eta e ^ {- bx},}$ ve ${displaystyle {egin {align} mathrm {E} {[ln (X)] ^ {2}} = & [1 {+} 1 / eta] !! int _ {0} ^ {eta} !!!! e ^ {- X} [ln (X)] ^ {2} dX & - 1 / eta !! int _ {0} ^ {eta} !!!! Xe ^ {- X} [ln (X)] ^ {2} dXend {hizalı}}}$

değişen Gompertz dağılımı iki bağımsızdan büyük olanın dağılımı rastgele değişkenler biri var üstel dağılım parametre ile ${displaystyle b}$ ve diğerinin Gumbel dağılımı parametrelerle ${displaystyle eta}$ ve ${displaystyle b}$. Orijinal formülasyonunda dağılım, Gumbel dağılımı yerine Gompertz dağılımına atıfta bulunarak ifade edildi, ancak Gompertz dağılımı tersine çevrilmiş bir Gumbel dağılımı olduğundan, etiketlemenin doğru olduğu düşünülebilir. Bir model olarak kullanılmıştır yeniliklerin benimsenmesi. Bemmaor tarafından önerildi^[1] (1994). Bazı istatistiksel özellikleri Jiménez ve Jodrá tarafından daha ayrıntılı incelenmiştir. ^[2](2009) ve Jiménez Torres ^[3](2014).

Sosyal ağların ve çevrimiçi hizmetlerin büyümesini ve düşüşünü tahmin etmek için kullanılmış ve Bass modeli ve Weibull dağıtımından (Bauckhage ve Kersting^[4] 2014).

Şartname

Olasılık yoğunluk işlevi

olasılık yoğunluk fonksiyonu kaydırılmış Gompertz dağılımının oranı:

${displaystyle f (x; b, eta) = be ^ {- bx} e ^ {- eta e ^ {- bx}} sol [1 + eta sol (1-e ^ {- bx} ight) ight] {ext {for}} xgeq 0.,}$

nerede ${displaystyle bgeq 0}$ bir ölçek parametresi ve ${displaystyle eta geq 0}$ bir şekil parametresi. Yeniliklerin yayılması bağlamında, ${displaystyle b}$ yeniliğin genel cazibesi olarak yorumlanabilir ve ${displaystyle eta}$ benimseme eğiliminde paradigma benimseme eğilimidir. Daha büyük ${displaystyle b}$ daha güçlü ve daha büyük ${displaystyle eta}$ benimseme eğilimi o kadar küçüktür.

Dağılım, iç ve dış etki paradigmasına göre yeniden değerlendirilebilir. ${displaystyle p = f (0; b, eta) = be ^ {- eta}}$ dış etki katsayısı olarak ve ${displaystyle q = b-p}$ iç etki katsayısı olarak. Dolayısıyla:

${displaystyle f (x; p, q) = (p + q) e ^ {- (p + q) x} e ^ {- ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x} } sol [1 + ln (1 + q / p) sol (1-e ^ {- (p + q) x} ight] {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

${displaystyle = (p + q) e ^ {- (p + q) x} {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} sol [1 + ln (1 + q / p) left (1-e ^ {- (p + q) x} ight) ight] {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

Ne zaman ${displaystyle q = 0}$, kaydırılmış Gompertz dağılımı üstel bir dağılıma indirgenir. Ne zaman ${displaystyle p = 0}$, benimseyenlerin oranı sıfırdır: yenilik tam bir başarısızlıktır. Olasılık yoğunluk işlevinin şekil parametresi şuna eşittir: ${displaystyle q / p}$. Bass modeline benzer şekilde, tehlike oranı ${displaystyle z (x; p, q)}$ eşittir ${displaystyle p}$ ne zaman ${displaystyle x}$ eşittir ${displaystyle 0}$; yaklaşır ${displaystyle p + q}$ gibi ${displaystyle x}$ yaklaşır ${displaystyle infty}$. Bemmaor ve Zheng'e bakın ^[5] daha fazla analiz için.

Kümülatif dağılım fonksiyonu

kümülatif dağılım fonksiyonu kaydırılmış Gompertz dağılımının oranı:

${displaystyle F (x; b, eta) = sol (1-e ^ {- bx} sağ) e ^ {- eta e ^ {- bx}} {ext {for}} xgeq 0.,}$

Eşdeğer olarak,

${displaystyle F (x; p, q) = sol (1-e ^ {- (p + q) x} sağ) e ^ {- ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x }} {ext {for}} xgeq 0.,}$

${displaystyle = left (1-e ^ {- (p + q) x} ight) {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} {ext {for}} xgeq 0.,}$

Özellikleri

Kaymış Gompertz dağılımı, tüm değerler için sağa çarpıktır. ${displaystyle eta}$. Daha esnektir. Gumbel dağılımı. Tehlike oranı, içbükey bir fonksiyondur ${displaystyle F (x; b, eta)}$ hangisinden artar ${displaystyle be ^ {- eta}}$ -e ${displaystyle b}$: eğriliği daha diktir ${displaystyle eta}$ büyük. Yeniliklerin yayılması bağlamında, ağızdan ağza sözlerin (yani önceki benimseyenlerin) benimseme olasılığı üzerindeki etkisi, benimseyenlerin oranı arttıkça azalmaktadır. (Karşılaştırma için, Bass modelinde etki zaman içinde aynı kalır). Parametre ${displaystyle q = b (1-e ^ {- eta})}$ tehlike oranının büyümesini yakalar ${displaystyle x}$ değişir ${displaystyle 0}$ -e ${displaystyle infty}$.

Şekiller

Kaydırılmış Gompertz yoğunluk işlevi, şekil parametresinin değerlerine bağlı olarak farklı şekiller alabilir. ${displaystyle eta}$:

• ${displaystyle 0$ olasılık yoğunluğu işlevinin modu 0'dır.
• ${displaystyle eta> 0,5,}$ olasılık yoğunluğu işlevinin modu şu şekildedir:

${displaystyle {ext {mod}} = - {frac {ln (z ^ {yıldız})} {b}}, qquad 0$

nerede ${görüntü stili z ^ {yıldız},}$ en küçük kökü

${displaystyle eta ^ {2} z ^ {2} -eta (3 + eta) z + eta + 1 = 0 ,,}$

hangisi

${displaystyle z ^ {yıldız} = [3 + eta - (eta ^ {2} + 2eta +5) ^ {1/2}] / (2eta).}$

İlgili dağılımlar

Ne zaman ${displaystyle eta}$ göre değişir gama dağılımı şekil parametresi ile ${displaystyle alpha}$ ve ölçek parametresi ${displaystyle eta}$ (ortalama = ${displaystyle alpha eta}$), dağılımı ${displaystyle x}$ Gama / Kaydırılmış Gompertz'dir (G / SG). Ne zaman ${displaystyle alpha}$ G / SG, bire eşittir, Bas modeli (Bemmaor 1994). Üç parametreli G / SG Dover, Goldenberg ve Shapira tarafından uygulanmıştır. ^[6](2009) ve Van den Bulte ve Stremersch ^[7](2004) yeniliklerin yayılması bağlamında diğerleri arasında. Model Chandrasekaran ve Tellis'te tartışılıyor ^[8](2007). Değişen Gompertz dağılımına benzer şekilde, G / SG ya benimseme eğilimine göre ya da yenilik-taklit paradigmasına göre temsil edilebilir. İkinci durumda, üç parametre içerir: ${displaystyle p, q}$ ve ${displaystyle alpha}$ ile ${displaystyle p = f (0; b, eta, alpha) = b / (1+ eta) ^ {alfa}}$ ve ${displaystyle q = b-p}$. Parametre ${displaystyle alpha}$ tehlike oranının eğriliğini bir fonksiyonu olarak ifade eder ${displaystyle F (x; p, q, alfa)}$: ne zaman ${displaystyle alpha}$ 0,5'ten küçükse, artan bir oranda artmadan önce minimuma düşer ${displaystyle F (x; p, q, alpha <1/2)}$ artar, ne zaman dışbükey ${displaystyle alpha}$ birden küçüktür ve 0,5'e eşit veya daha büyüktür, doğrusal olduğunda ${displaystyle alpha}$ bire eşittir ve içbükey olduğunda ${displaystyle alpha}$ birden büyüktür. Belirli bir zamanda benimseme olasılığı açısından homojenlik durumunda (popülasyon genelinde) G / SG dağılımının bazı özel durumları şunlardır:

                        ${displaystyle F (x; p, q, alpha = 0)}$ = Üstel${displaystyle (p + q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alpha = 1/2)}$ = Sol eğik iki parametreli dağılım${displaystyle (p, q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alpha = 1)}$  = Bas modeli${displaystyle (p, q)}$                        ${displaystyle F (x; p, q, alpha = infty)}$ = Değiştirilmiş Gompertz${displaystyle (p, q)}$

ile:

              ${displaystyle F (x; p, q, alpha = 1/2) = sol (1-e ^ {- (p + q) x} sağ) / {(1+ (q / p) (2 + q / p ) e ^ {- (p + q) x}) ^ {1/2}} {ext {for}} xgeq 0, p, qgeq 0.,}$

Parametreler karşılaştırılabilir ${displaystyle p}$ ve ${displaystyle q}$ değerlerinin karşısında ${displaystyle alpha}$ aynı kavramları yakaladıkları için. Tüm durumlarda, tehlike oranı ya sabittir ya da monoton olarak artan ${displaystyle F (x; p, q, alfa)}$ (olumlu ağızdan söz). Difüzyon eğrisi daha eğimli olduğundan ${displaystyle alpha}$ büyüyor, bekliyoruz ${displaystyle q}$ Sağ eğim seviyesi arttıkça azalmak için.

Ayrıca bakınız

• Gumbel dağılımı
• Genelleştirilmiş aşırı değer dağılımı
• Karışım modeli
• Bas modeli
• Gompertz dağılımı

Referanslar

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Nisan 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)