Log-Cauchy dağılımı - Log-Cauchy distribution

Log-Cauchy

Olasılık yoğunluk işlevi
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Parametreler	${ displaystyle mu}$ (gerçek ) ${ displaystyle displaystyle sigma> 0 !}$ (gerçek)
Destek	${ displaystyle displaystyle x in (0, + infty) !}$
PDF	${ displaystyle {1 x üzerinde pi} sol [{ sigma fazla ( ln x- mu) ^ {2} + sigma ^ {2}} sağ], x> 0}$
CDF	${ displaystyle { frac {1} { pi}} arctan sol ({ frac { ln x- mu} { sigma}} sağ) + { frac {1} {2}}, x> 0}$
Anlamına gelmek	sonsuz
Medyan	${ displaystyle e ^ { mu} ,}$
Varyans	sonsuz
Çarpıklık	bulunmuyor
Örn. Basıklık	bulunmuyor
MGF	bulunmuyor

Olasılık teorisinde, bir log-Cauchy dağılımı bir olasılık dağılımı bir rastgele değişken kimin logaritma göre dağıtılır Cauchy dağılımı. Eğer X Cauchy dağılımına sahip rastgele bir değişkendir, bu durumda Y = tecrübe(X) log-Cauchy dağılımına sahiptir; aynı şekilde, eğer Y log-Cauchy dağılımına sahipse X = günlük (Y) bir Cauchy dağılımına sahiptir.^[1]

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk işlevi

Log-Cauchy dağıtımı, olasılık yoğunluk fonksiyonu:

${ displaystyle { başlar {hizalı} f (x; mu, sigma) & = { frac {1} {x pi sigma sol [1+ sol ({ frac { ln x- mu} { sigma}} sağ) ^ {2} sağ]}}, x> 0 & = {1 over x pi} left [{ sigma over ( ln x- mu) ^ {2} + sigma ^ {2}} sağ], x> 0 end {hizalı}}}$

nerede ${ displaystyle mu}$ bir gerçek Numara ve ${ displaystyle sigma> 0}$.^[1][2] Eğer ${ displaystyle sigma}$ biliniyor ölçek parametresi dır-dir ${ displaystyle e ^ { mu}}$.^[1] ${ displaystyle mu}$ ve ${ displaystyle sigma}$ karşılık gelmek konum parametresi ve ölçek parametresi ilişkili Cauchy dağılımının.^[1][3] Bazı yazarlar tanımlar ${ displaystyle mu}$ ve ${ displaystyle sigma}$ olarak yer ve sırasıyla log-Cauchy dağılımının ölçek parametreleri.^[3]

İçin ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle sigma = 1}$, standart bir Cauchy dağılımına karşılık gelen olasılık yoğunluğu işlevi şu şekilde azalır:^[4]

${ displaystyle f (x; 0,1) = { frac {1} {x pi (1 + ( ln x) ^ {2})}}, x> 0}$

Kümülatif dağılım fonksiyonu

Kümülatif dağılım işlevi (cdf ) ne zaman ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle sigma = 1}$ dır-dir:^[4]

${ displaystyle F (x; 0,1) = { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} arctan ( ln x), x> 0}$

Hayatta kalma işlevi

hayatta kalma işlevi ne zaman ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle sigma = 1}$ dır-dir:^[4]

${ displaystyle S (x; 0,1) = { frac {1} {2}} - { frac {1} { pi}} arctan ( ln x), x> 0}$

Tehlike oranı

Tehlike oranı ne zaman ${ displaystyle mu = 0}$ ve ${ displaystyle sigma = 1}$ dır-dir:^[4]

${ displaystyle lambda (x; 0,1) = sol ({ frac {1} {x pi sol (1+ sol ( ln x sağ) ^ {2} sağ)}} sol ({ frac {1} {2}} - { frac {1} { pi}} arctan ( ln x) sağ) sağ) ^ {- 1}, x> 0}$

Dağıtımın başında ve sonunda tehlike oranı azalır, ancak tehlike oranının arttığı bir aralık olabilir.^[4]

Özellikleri

Log-Cauchy dağılımı, bir ağır kuyruklu dağılım.^[5] Bazı yazarlar bunu "süper ağır kuyruklu" bir dağılım olarak kabul eder, çünkü bir kuyruktan daha ağır bir kuyruğu vardır. Pareto dağılımı -tipli ağır kuyruk, yani bir logaritmik olarak azalan kuyruk.^[5][6] Cauchy dağıtımında olduğu gibi, önemsiz olmayanların hiçbiri anlar log-Cauchy dağılımı sonludur.^[4] anlamına gelmek bir andır, dolayısıyla log-Cauchy dağılımının tanımlanmış bir ortalaması yoktur veya standart sapma.^[7][8]

Log-Cauchy dağılımı sonsuz bölünebilir bazı parametreler için ancak diğerleri için değil.^[9] Gibi lognormal dağılım, log-t veya log-Student dağılımı ve Weibull dağılımı log-Cauchy dağılımı, ikinci türün genelleştirilmiş beta dağılımı.^[10][11] Log-Cauchy aslında log-t dağılımının özel bir durumudur, Cauchy dağılımının özel bir durum olmasına benzer Student t dağılımı 1 derece özgürlük ile.^[12][13]

Cauchy dağılımı bir kararlı dağıtım log-Cauchy dağılımı, logstable bir dağıtımdır.^[14] Logstable dağıtımlarda kutuplar x = 0'da.^[13]

Tahmin parametreleri

medyan of doğal logaritmalar bir örneklem bir sağlam tahminci nın-nin ${ displaystyle mu}$.^[1] medyan mutlak sapma bir numunenin doğal logaritmalarının sağlam bir tahmincisidir ${ displaystyle sigma}$.^[1]

Kullanımlar

İçinde Bayes istatistikleri, log-Cauchy dağılımı, yaklaşık olarak uygunsuz Jeffreys -Haldane yoğunluğu, 1 / k, bazen önceki dağıtım k için burada k tahmin edilen pozitif bir parametredir.^[15][16] Log-Cauchy dağılımı, önemli olduğu durumlarda belirli hayatta kalma süreçlerini modellemek için kullanılabilir. aykırı değerler veya aşırı sonuçlar ortaya çıkabilir.^[2][3][17] Log-Cauchy dağıtımının uygun bir model olabileceği sürece bir örnek, bir kişinin enfekte olması arasındaki süredir. HIV virüsü ve bazı insanlar için çok uzun sürebilen hastalığın semptomlarını gösteriyor.^[3] Ayrıca türlerin bolluğu modelleri için bir model olarak önerilmiştir.^[18]

Referanslar