Von Mises-Fisher dağılımı - Von Mises–Fisher distribution

İçinde yönlü istatistikler, von Mises-Fisher dağılımı (adını Ronald Fisher ve Richard von Mises ), bir olasılık dağılımı üzerinde ${displaystyle (p-1)}$-küre içinde ${displaystyle mathbb {R} ^ {p}}$. Eğer ${displaystyle p = 2}$dağıtım azalır von Mises dağılımı üzerinde daire.

olasılık yoğunluğu rassal için von Mises – Fisher dağılımının fonksiyonu pboyutlu birim vektör ${displaystyle mathbf {x},}$ tarafından verilir:

${displaystyle f_ {p} (mathbf {x}; {oldsymbol {mu}}, kappa) = C_ {p} (kappa) exp left ({kappa {oldsymbol {mu}} ^ {T} mathbf {x}} ight ),}$

nerede ${displaystyle kappa geq 0, leftVert {oldsymbol {mu}} ightVert = 1,}$ ve normalleştirme sabiti ${displaystyle C_ {p} (kappa),}$ eşittir

${displaystyle C_ {p} (kappa) = {frac {kappa ^ {p / 2-1}} {(2pi) ^ {p / 2} I_ {p / 2-1} (kappa)}},}$

nerede ${displaystyle I_ {v}}$ değiştirileni gösterir Bessel işlevi sırayla birinci türden ${displaystyle v}$. Eğer ${görüntü stili p = 3}$normalleştirme sabiti,

${displaystyle C_ {3} (kappa) = {frac {kappa} {4pi sinh kappa}} = {frac {kappa} {2pi (e ^ {kappa} -e ^ {- kappa})}}.}$

Parametreler ${displaystyle {oldsymbol {mu}},}$ ve ${displaystyle kappa,}$ denir ortalama yön ve konsantrasyon parametresi, sırasıyla. Değeri ne kadar büyükse ${displaystyle kappa,}$Ortalama yön etrafındaki dağılımın konsantrasyonu ne kadar yüksekse ${displaystyle {oldsymbol {mu}},}$. Dağıtım tek modlu için ${displaystyle kappa> 0,}$ve küre üzerinde tek tiptir ${displaystyle kappa = 0,}$.

İçin von Mises-Fisher dağılımı ${görüntü stili p = 3}$Fisher dağılımı olarak da adlandırılan, ilk olarak elektrik çift kutupları içinde Elektrik alanı (Mardia ve Jupp, 1999). Diğer uygulamalar şurada bulunur: jeoloji, biyoinformatik, ve metin madenciliği.

Normal dağılımla ilişkisi

Bir normal dağılım

${displaystyle G_ {p} (mathbf {x}; {oldsymbol {mu}}, kappa) = left ({sqrt {frac {kappa} {2pi}}} ight) ^ {p} exp left (-kappa {frac { (mathbf {x} - {eski sembol {mu}}) ^ {2}} {2}} ight),}$

von Mises-Fisher dağılımı genişleyerek elde edilir

${displaystyle (mathbf {x} - {oldsymbol {mu}}) ^ {2} = mathbf {x} ^ {2} + {oldsymbol {mu}} ^ {2} -2 {oldsymbol {mu}} ^ {T } mathbf {x},}$

gerçeğini kullanarak ${displaystyle mathbf {x}}$ ve ${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$ birim vektörlerdir ve normalleştirme sabitinin integral alınarak yeniden hesaplanması ${displaystyle mathbf {x}}$ birim küre üzerinde.

Parametrelerin tahmini

Bir dizi N bağımsız ölçümler ${displaystyle x_ {i}}$ von Mises – Fisher dağılımından alınmıştır. Tanımlamak

${displaystyle A_ {p} (kappa) = {frac {I_ {p / 2} (kappa)} {I_ {p / 2-1} (kappa)}}.,}$

Sonra (Mardia & Jupp, 1999) maksimum olasılık tahminleri ${displaystyle mu,}$ ve ${displaystyle kappa,}$ tarafından verilir yeterli istatistik

${displaystyle {ar {x}} = {frac {1} {N}} toplamı _ {i} ^ {N} x_ {i},}$

gibi

${displaystyle mu = {ar {x}} / {ar {R}}, {ext {nerede}} {ar {R}} = | {ar {x}} |,}$

ve

${displaystyle kappa = A_ {p} ^ {- 1} ({ar {R}}).}$

Böylece ${displaystyle kappa,}$ çözüm

${displaystyle A_ {p} (kappa) = {frac {| sum _ {i} ^ {N} x_ {i} |} {N}} = {ar {R}}.}$

Basit bir yaklaşım ${displaystyle kappa}$ (Sra, 2011)

${displaystyle {hat {kappa}} = {frac {{ar {R}} (p- {ar {R}} ^ {2})} {1- {ar {R}} ^ {2}}},}$

ancak Newton yöntemini birkaç kez yineleyerek daha doğru bir ölçü elde edilebilir.

${displaystyle {hat {kappa}} _ {1} = {hat {kappa}} - {frac {A_ {p} ({hat {kappa}}) - {ar {R}}} {1-A_ {p} ({hat {kappa}}) ^ {2} - {frac {p-1} {hat {kappa}}} A_ {p} ({hat {kappa}})}},}$

${displaystyle {hat {kappa}} _ {2} = {hat {kappa}} _ {1} - {frac {A_ {p} ({hat {kappa}} _ {1}) - {ar {R}} } {1-A_ {p} ({hat {kappa}} _ {1}) ^ {2} - {frac {p-1} {{hat {kappa}} _ {1}}} A_ {p} ( {hat {kappa}} _ {1})}}.}$

İçin N ≥ 25, örnek ortalama yönünün tahmini küresel standart hatası şu şekilde hesaplanabilir^[1]

${displaystyle {hat {sigma}} = sol ({frac {d} {N {ar {R}} ^ {2}}} sağ) ^ {1/2}}$

nerede

${displaystyle d = 1- {frac {1} {N}} toplam _ {i} ^ {N} (mu ^ {T} x_ {i}) ^ {2}}$

Daha sonra yaklaşık olarak ${displaystyle 100 (1-alfa) \%}$ hakkında güven konisi ${displaystyle mu}$ yarı dikey açılı

${displaystyle q = arcsin (e_ {alfa} ^ {1/2} {şapka {sigma}}),}$ nerede ${displaystyle e_ {alpha} = - ln (alfa).}$

Örneğin,% 95 güven konisi için, ${displaystyle alpha = 0.05, e_ {alpha} = - ln (0.05) = 2.996,}$ ve böylece ${displaystyle q = arcsin (1,731 {hat {sigma}}).}$

Genellemeler

Matris von Mises-Fisher dağılımı, yoğunluğa sahiptir

${displaystyle f_ {n, p} (mathbf {X}; mathbf {F}) propto exp (operatorname {tr} (mathbf {F} ^ {T} mathbf {X}))}$

destekleniyor Stiefel manifoldu nın-nin ${displaystyle n imes p}$ ortonormal p-kareler ${displaystyle mathbf {X}}$, nerede ${displaystyle mathbf {F}}$ keyfi ${displaystyle n imes p}$ gerçek matris.^[2][3]

Ayrıca bakınız

• Kent dağıtımı, iki boyutlu birim küre üzerinde ilgili bir dağılım
• von Mises dağılımı, von Mises – Fisher dağılımı nerede p = 2, tek boyutlu birim çember
• Bivariate von Mises dağılımı
• Yön istatistikleri

Referanslar

• Dhillon, I., Sra, S. (2003) "Yönlü Dağılımlar Kullanarak Verileri Modelleme". Tech. rep., Texas Üniversitesi, Austin.
• Banerjee, A., Dhillon, I. S., Ghosh, J. ve Sra, S. (2005). "Von Mises-Fisher dağılımlarını kullanarak birim hiper kürede kümeleme". Makine Öğrenimi Araştırmaları Dergisi, 6 (Eylül), 1345-1382.
• Fisher, RA, "Bir küre üzerinde dağılım". (1953) Proc. Roy. Soc. London Ser. A., 217: 295–305
• Mardia, Kanti; Jupp, P.E. (1999). Yön İstatistikleri. John Wiley & Sons Ltd. ISBN  978-0-471-95333-3.
• Sra, S. (2011). "Von Mises-Fisher dağılımları için parametre yaklaşımı hakkında kısa bir not: Ve I s (x) 'in hızlı bir uygulaması". Hesaplamalı İstatistik. 27: 177–190. CiteSeerX  10.1.1.186.1887. doi:10.1007 / s00180-011-0232-x.