PERT dağılımı - PERT distribution

PERT

Olasılık yoğunluk işlevi PERT olasılık dağılımı için örnek yoğunluk eğrileri
Kümülatif dağılım fonksiyonu PERT olasılık dağılımı için örnek kümülatif dağılım eğrileri
Parametreler	${ displaystyle b> a ,}$ (gerçek) ${ displaystyle c> b ,}$ (gerçek)
Destek	${ displaystyle x in [a, c] ,}$
PDF	${ displaystyle { frac {(xa) ^ { alpha -1} (cx) ^ { beta -1}} { mathrm {B} ( alpha, beta) (ca) ^ { alpha + beta -1}}}}$nerede ${ displaystyle alpha = { frac {4b + c-5a} {c-a}} = 1 + 4 { frac {b-a} {c-a}}}$ ${ displaystyle beta = { frac {5c-a-4b} {c-a}} = 1 + 4 { frac {c-b} {c-a}}}$
CDF	${ displaystyle I_ {z} ( alpha, beta)}$ (düzenlenmiş eksik beta işlevi ) ile ${ displaystyle z = (x-a) / (c-a)}$
Anlamına gelmek	${ displaystyle operatöradı {E} [X] = { frac {a + 4b + c} {6}} = mu}$
Medyan	${ displaystyle I _ { frac {1} {2}} ^ {[- 1]} ( alpha, beta) (c-a) + a}$ ${ displaystyle yaklaşık a + (c-a) { frac { alpha -1/3} { alpha + beta -2/3}} = { frac {a + 6b + c} {8}}}$
Mod	${ displaystyle b}$
Varyans	${ displaystyle operatöradı {değişken} [X] = { frac {( mu -a) (c- mu)} {7}}}$
Çarpıklık	${ displaystyle { frac {2 , ( beta - alpha) { sqrt { alpha + beta +1}}} {( alpha + beta +2) { sqrt { alpha beta} }}}}$
Örn. Basıklık	${ displaystyle { frac {6 [( alpha - beta) ^ {2} ( alpha + beta +1) - alpha beta ( alpha + beta +2)]} { alpha beta ( alpha + beta +2) ( alpha + beta +3)}}$

İçinde olasılık ve İstatistik, PERT dağılımı bir aile sürekli olasılık dağılımları bir değişkenin alabileceği minimum (a), büyük olasılıkla (b) ve maksimum (c) değerleriyle tanımlanır. Dört parametrenin bir dönüşümüdür Beta dağılımı ek bir varsayımla beklenen değer dır-dir

${ displaystyle mu = { frac {a + 4b + c} {6}}.}$

Dağılımın ortalaması bu nedenle değişkenin alabileceği minimum, en olası ve maksimum değerlerin ağırlıklı ortalaması olarak tanımlanır ve en olası değere dört kat ağırlık uygulanmıştır. Ortalamaya ilişkin bu varsayım ilk olarak Clark'ta önerilmiştir, 1962^[1] görev sürelerinin belirsizliğinin, değerlendirilmekte olan bir proje çizelgesinin çıktısı üzerindeki etkisini tahmin etmek için Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği, dolayısıyla adı. Dağılımın matematiği, yazarların standart sapmayı aralığın yaklaşık 1 / 6'sına eşit yapma arzusundan kaynaklanmıştır.^[2][3] PERT dağılımı, risk analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır^[4] subjektif tahminlere dayanılan bir miktarın değerinin belirsizliğini temsil etmek için, çünkü dağılımı tanımlayan üç parametre tahmin ediciye sezgiseldir. PERT dağıtımı, çoğu simülasyon yazılımı aracında yer alır.

Üçgen dağılımla karşılaştırma

PERT ve üçgen olasılık dağılımları için yoğunluk eğrilerinin karşılaştırılması

PERT dağıtımı bir alternatif sunar^[5] kullanmak üçgen dağılım aynı üç parametreyi alır. PERT dağılımı, Üçgen dağılımdan daha pürüzsüz bir şekle sahiptir. Üçgen dağılım, üç parametrenin ortalamasına eşit bir ortalamaya sahiptir:

${ displaystyle mu = { frac {a + b + c} {3}}}$

Formül, genellikle en olası değerden daha az bilinen uç değerlere eşit vurgu yapar ve bu nedenle, bir uç noktaya ilişkin zayıf tahminlerden gereksiz şekilde etkilenebilir. Üçgen dağılım, öznel bilgiyi simgeleyen daha yumuşak şekle uymayan açısal bir şekle de sahiptir:

Değiştirilmiş PERT dağılımı

Farklı ağırlıklara sahip değiştirilmiş PERT dağılımları için yoğunluk eğrilerinin karşılaştırılması

PERT dağılımı, aşırı değerlere, özellikle dağılım güçlü bir şekilde çarpıksa en olası değerden en uzak noktaya çok küçük olasılık atar.^[6][7] Değiştirilmiş PERT dağıtımı ^[8] dağılımın kuyruk değerlerine ne kadar olasılık atandığına dair daha fazla kontrol sağlamak için önerildi. Değiştirilmiş PERT, dördüncü bir parametre sunar ${ displaystyle gama,}$ ortalamanın belirlenmesinde en olası değerin ağırlığını kontrol eden:

${ displaystyle mu = { frac {a + gamma b + c} { gamma +2}}}$

Tipik olarak, 2 ile 3,5 arasındaki değerler, ${ displaystyle gama,}$ ve yoğunluk eğrisini düzleştirme etkisine sahiptir. Bu, mesafelerin yüksek oranda çarpık dağılımları için kullanışlıdır. ${ displaystyle (b-a),}$ ve ${ displaystyle (c-b),}$ çok farklı boyutlardadır.

Değiştirilmiş PERT dağıtımı birkaç simülasyon paketinde uygulanmıştır:

• ModelRisk^[9] - Excel için risk analizi eklentisi.
• Primavera risk analizi - proje risk analizi simülasyon aracı.
• R (programlama dili)^[10] - istatistiksel hesaplama için açık kaynaklı açık kaynak programlama dili.
• Tamara ^[11] - proje risk analizi simülasyon aracı.
• Wolfram Mathematica^[12] - matematiksel sembolik hesaplama programı.

Referanslar